וקטורים

נביע את $\underline{AE}$ ואת $\underline{AN}$, ואז $\underline{EN}=\underline{AN}-\underline{AE}$.

הנקודה $E$: $\underline{SD}=\underline{AD}-\underline{AS}=\underline{u}-\underline{w}$, ולכן:

הנקודה $N$: $\underline{AC}=\underline{u}+\underline{v}$ ‏(‏$ABCD$ ריבוע‏)‏, ולכן $\underline{SC}=\underline{u}+\underline{v}-\underline{w}$:

ההפרש:

תשובה: $\underline{EN}=\left(k-\frac{3}{4}\right)\underline{u}+k\underline{v}+\left(\frac{3}{4}-k\right)\underline{w}$

נסמן $a=|\underline{u}|=|\underline{v}|=|\underline{w}|$ ‏(‏$AS$ שווה לצלע הריבוע‏)‏. שלושת הווקטורים מאונכים זה לזה ‏(‏$ABCD$ ריבוע ו־$AS$ גובה‏)‏, ולכן כל המכפלות הסקלריות המעורבות מתאפסות, ונשארים רק הריבועים:

מהנתון $|\underline{EN}|=\frac{\sqrt{6}}{4}|\underline{w}|$:

נחלק ב־$a^2$:

תשובה: $k=\frac{1}{2}$

$AB=12$, ולכן כל המקצועות $AB,AD,AS$ שווים ל־$12$:

לפי סעיף א, $\underline{AE}=\frac{3}{4}\underline{u}+\frac{1}{4}\underline{w}$, כאשר $\underline{u}=(12,0,0)$ ו־$\underline{w}=(0,0,12)$:

עבור $k=\frac{1}{2}$ הנקודה $N$ היא אמצע $SC$:

תשובה: $E(9,0,3)$, $N(6,6,6)$

שני וקטורים במישור:

נחפש נורמל $\underline{n}=(n_1,n_2,n_3)$ המאונך לשניהם:

נחבר את שתי המשוואות:

נבחר $n_1=3$, ואז $n_2=2$. נציב במשוואה הראשונה:

משוואת המישור היא מהצורה:

נציב את הנקודה $B(0,12,0)$:

בדיקה בנקודות $E$ ו־$N$:

תשובה: $3x+2y-z-24=0$

לשתי הפירמידות $SENB$ ו־$CENB$ יש אותו בסיס – המשולש $ENB$. לכן היחס בין הנפחים הוא היחס בין הגבהים, כלומר בין המרחקים של $S$ ושל $C$ מהמישור $ENB$.

נחשב את המרחקים לפי נוסחת המרחק של נקודה ממישור:

המרחקים שווים ‏(‏וזה צפוי: המישור עובר דרך $N$, אמצע הקטע $SC$‏)‏, ולכן הנפחים שווים.

תשובה: הנפחים שווים: בסיס משותף $ENB$, והמרחקים של $S$ ושל $C$ מהמישור שווים ($\frac{36}{\sqrt{14}}$).

נלך מ־$E$ לאורך מקצועות התיבה. $E$ אמצע $B{B}^{\prime }$, ולכן $\overrightarrow{EB}=-\frac{1}{2}\underline{w}$ ‏(‏כי $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\underline{w}$‏)‏.

ב־$ABCD$ מתקיים $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\underline{u}$, ולכן:

תשובה: $\overrightarrow{EA}=-\underline{v}-\frac{1}{2}\underline{w}$
$\overrightarrow{EC}=\underline{u}-\frac{1}{2}\underline{w}$

תשובה: $\overrightarrow{EM}=\frac{1}{6}\underline{u}-\frac{2}{3}\underline{v}-\frac{5}{12}\underline{w}$

נציב את הביטויים מסעיף א:

הווקטורים $\underline{u},\underline{v},\underline{w}$ אינם במישור אחד, ולכן נשווה מקדמים עם סעיף ב:

בדיקה במקדם של $\underline{w}$:

תשובה: $a=\frac{2}{3},b=\frac{1}{6}$

כן. לפי סעיף ג (1):

כלומר הווקטור $\overrightarrow{EM}$ הוא צירוף לינארי של שני וקטורים במישור $AEC$, והנקודה $E$ במישור. לכן הנקודה $M$ נמצאת במישור $AEC$.

תשובה: כן. מתקיים $\overrightarrow{EM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{EA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{EC}$

בתיבה המקצועות מאונכים זה לזה, ולכן:

$\overrightarrow{BM}$ מאונך למישור $AEC$, ולכן הוא מאונך ל־$\overrightarrow{EA}$ ול־$\overrightarrow{EC}$. נשתמש ב־$|\underline{w}|=4$, כלומר ${\underline{w}}^2=16$.

מכפלה סקלרית עם $\overrightarrow{EA}$:

מכפלה סקלרית עם $\overrightarrow{EC}$:

תשובה: $|\underline{u}|=2,|\underline{v}|=1$

$\overrightarrow{BM}$ מאונך למישור $AEC$, והנקודה $M$ נמצאת במישור ‏(‏סעיף ג (2)‏)‏. לכן $M$ היא היטל הנקודה $B$ על המישור, והמרחק המבוקש הוא $|\overrightarrow{BM}|$.

תשובה: $\sqrt{\frac{2}{3}}\approx 0.82$

$B{B}^{\prime }$ הוא מקצוע צדדי של התיבה, ולכן הוא מאונך לפאה העליונה $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ו־$B^{\prime }$ נמצאת במישור שלה. לכן אורך $B{B}^{\prime }$ הוא המרחק של $B(0,7,6)$ מהמישור $x+4y-8z-142=0$:

תשובה: $B{B}^{\prime }=18$

$A$ נמצאת על הישר $AB$, ולכן $A=(0,7+2t,6+t)$ עבור $t$ מסוים, ו:

• $t=5$ נותן $y=17>0$ – נפסל.
• $t=-5$ נותן $y=-3<0$ ✓

תשובה: $A(0,-3,1)$

המישור $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B$ מכיל את כיוון $AB$, $\underline{u}=(0,2,1)$, ואת כיוון $B{B}^{\prime }$. $B{B}^{\prime }$ מאונך לפאה העליונה, ולכן הכיוון שלו הוא הנורמל שלה, $\underline{m}=(1,4,-8)$.

נחפש נורמל $\underline{n}=(n_1,n_2,n_3)$ המאונך לשניהם:

נבחר $n_2=-1$. מהמשוואה הראשונה:

ומהשנייה:

נציב את $A(0,-3,1)$ ב־$20x-y+2z+d=0$:

בדיקה עם הנקודה $B(0,7,6)$:

תשובה: $20x-y+2z-5=0$

הזווית בין הישרים היא הזווית בין וקטורי הכיוון $\underline{AM}$ ו־$\underline{u}=(0,2,1)$:

$k$ חיובי, ולכן:

תשובה: $k=\sqrt{60}=2\sqrt{15}\approx 7.75$

נפח התיבה: $V=AB\cdot AD\cdot A{A}^{\prime }$. ידוע $AB=5\sqrt{5}$ ו־$A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }=18$. נשאר למצוא את $AD$.

הפאה $DC{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ מקבילה לפאה $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, ו־$AD$ מאונך לשתיהן. לכן $AD$ הוא המרחק בין שני המישורים, וזה המרחק של הנקודה $M$ ‏(‏שנמצאת על $DC{C}^{\prime }{D}^{\prime }$‏)‏ מהמישור $20x-y+2z-5=0$:

הנפח:

תשובה: $V=400\sqrt{15}\approx 1549.19$

נבנה את הווקטור בשלבים. תחילה:

נתון $O^{\prime }E=\frac{1}{3}{O}^{\prime }B$, ולכן:

נתון $AN=\frac{3}{4}AE$:

ולכן:

תשובה: $\overrightarrow{O^{\prime }N}=\frac{1}{4}\underline{u}+\frac{1}{4}\underline{v}-\frac{1}{2}\underline{w}$

$K$ אמצע $AB$, ולכן $\overrightarrow{OK}=\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}$, ו:

נשווה לתוצאה של א (1):

הווקטורים $\overrightarrow{O^{\prime }N}$ ו־$\overrightarrow{O^{\prime }K}$ מקבילים ויש להם נקודה משותפת $O^{\prime }$, ולכן הנקודות $O^{\prime },N,K$ נמצאות על ישר אחד.

תשובה: הוכח: $\overrightarrow{O^{\prime }N}=\frac{1}{2}\overrightarrow{O^{\prime }K}$
היחס: $O^{\prime }K:O^{\prime }N=2:1$

נסמן $B(0,b,0)$ ו־$O^{\prime }(0,0,h)$, עם $b,h>0$. לפי $\overrightarrow{O^{\prime }E}=\frac{1}{3}\overrightarrow{O^{\prime }B}$:

נשווה ל־$E(0,1,6)$:

לכן $B(0,3,0)$ ו־$O^{\prime }(0,0,9)$, כלומר:

לפי א (1):

תשובה: $B(0,3,0)$
$N\left(1,\frac{3}{4},\frac{9}{2}\right)$

שיעורי הנקודות:

שני וקטורים במישור:

נחפש נורמל $\underline{n}=(a,b,c)$ המאונך לשניהם:

מהמשוואה הראשונה:

נציב במשוואה השנייה:

נבחר $a=3$, ואז $b=4$:

המישור $3x+4y+D=0$ עובר דרך $A^{\prime }(4,0,9)$:

תשובה: $3x+4y-12=0$

לפי נוסחת המרחק בין נקודה למישור, עבור $N\left(1,\frac{3}{4},\frac{9}{2}\right)$:

תשובה: $d=1.2$

בסיס הפירמידה הוא המשולש $A^{\prime }K{B}^{\prime }$, והגובה הוא המרחק של $N$ מהמישור – סעיף ד (1).

במשולש $A^{\prime }K{B}^{\prime }$ הצלע $A^{\prime }{B}^{\prime }$ שווה ל־$AB$:

נסמן ב־$K^{\prime }$ את אמצע $A^{\prime }{B}^{\prime }$. הבסיס העליון מתקבל מהתחתון בהזזה לאורך המקצוע הצדדי, ולכן $\overrightarrow{K{K}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ – מקביל למקצוע הצדדי ושווה לו. במנסרה ישרה המקצועות הצדדיים מאונכים למישורי הבסיסים, ולכן $K{K}^{\prime }$ מאונך למישור הבסיס העליון ובפרט לישר $A^{\prime }{B}^{\prime }$ שבו, ואורכו כגובה המנסרה, 9. זה הגובה של המשולש לצלע $A^{\prime }{B}^{\prime }$:

תשובה: $V=9$

$ABCD$ מקבילית, ולכן $\underline{AC}=\underline{u}+\underline{v}$ ו־$\underline{DB}=\underline{u}-\underline{v}$. $M$ אמצע $BD$, ולכן:

ולכן:

תשובה: $\underline{SM}=\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}-\underline{w}$

$SA$ גובה, ולכן $\underline{w}$ מאונך ל־$\underline{u}$ ול־$\underline{v}$:

$SM\perp DB$, ולכן המכפלה הסקלרית מתאפסת:

נפתח סוגריים:

האיברים המעורבים מתבטלים, והמכפלות עם $\underline{w}$ מתאפסות:

תשובה: הוכח: $|\underline{u}|=|\underline{v}|$ ‏(‏המקבילית היא מעוין‏)‏.

לפי סעיף ב $AD=AB=5$:

במקבילית $\underline{AC}=\underline{AB}+\underline{AD}$:

תשובה: $D(3,4,0)$, $C(3,9,0)$

המישור מכיל את $\underline{AC}$ ומקביל ל־$\underline{SD}$, ולכן שני הווקטורים הם וקטורי כיוון שלו:

נחפש נורמל $\underline{n}=(n_1,n_2,n_3)$:

נבחר $n_2=-6$. מהמשוואה הראשונה $n_1=18$, ומהשנייה:

המישור עובר דרך $A(0,0,0)$, ולכן $d=0$:

תשובה: $18x-6y+5z=0$

הנקודה $K$: נקודה על $SB$:

נציב במשוואת המישור:

כלומר $K(0,2.5,3)$ היא אמצע $SB$. וגם $M$ אמצע $BD$:

טענה I – נכונה.

הווקטורים פרופורציוניים, ו־$K$ אינה על $SD$, ולכן $KM\parallel SD$ ‏(‏$KM$ קטע אמצעים במשולש $SBD$‏)‏.

טענה II – נכונה. ישר המאונך למישור $ACK$ הוא בכיוון הנורמל $(18,-6,5)$. המישור מקביל ל־$SD$, ולכן הנורמל מאונך ל־$\underline{SD}$:

לכן כל ישר כזה מאונך ל־$SD$.

תשובה: I נכונה; II נכונה.

נתון $\underline{u}=\overrightarrow{AE}$ ו־$\underline{v}=\overrightarrow{EC}$. נעלה את שני האגפים בריבוע:

לכן הווקטור $\overrightarrow{AE}$ מאונך לווקטור $\overrightarrow{EC}$.

הנקודה $E$ היא אמצע $BC$ ולכן הווקטור $\overrightarrow{EC}$ מונח על הישר $BC$. מכאן ש־$AE$ מאונך ל־$BC$.

תשובה: $\underline{u}\cdot \underline{v}=0$
ולכן $AE\perp BC$

לפי סעיף א הקטע $AE$ הוא גם גובה וגם תיכון לצלע $BC$. לכן המשולש $ABC$ שווה־שוקיים:

הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־$x$:

הנקודה $E$ היא אמצע $BC$:

הקטע $SE$ הוא גובה הפירמידה. לכן הוא מאונך למישור הבסיס שהוא המישור $z=0$. אורכו 16 ושיעור ה־$z$ של $S$ חיובי:

תשובה: $C(10,0,0)$
$S(8,4,16)$

נמצא את $F$ לפי $\overrightarrow{SF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{SC}$:

הישר מקביל ל־$AC$ שהכיוון שלו הוא $(10,0,0)$. לכן אפשר לקחת וקטור כיוון

תשובה: $\underline{x}=(8.5,3,12)+t(1,0,0)$

משוואת המישור $ABS$: שני וקטורים במישור:

נחפש נורמל $(a,b,c)$ המאונך לשניהם:

נבחר:

נכפול ב־4 ונקבל את הנורמל:

המישור עובר בראשית ולכן משוואתו:

חיתוך: נקודה כללית על הישר היא $(8.5+t,3,12)$. נציב במישור:

תשובה: $M(6,3,12)$

הפירמידה $MABC$: הבסיס הוא המשולש $ABC$ שנמצא במישור $z=0$. הגובה הוא שיעור ה־$z$ של $M$ כלומר 12.

הפירמידה $FAEC$: הבסיס הוא המשולש $AEC$ שנמצא גם הוא במישור $z=0$. הגובה הוא שיעור ה־$z$ של $F$ וגם הוא 12.

הגבהים שווים ולכן יחס הנפחים שווה ליחס שטחי הבסיסים. הקטע $AE$ הוא תיכון במשולש $ABC$ ולכן הוא מחלק אותו לשני משולשים שווי שטח:

תשובה: פי 2

$F$ אמצע $BC$, ולכן:

הנקודה $E$ היא מרכז הריבוע, כלומר אמצע האלכסון $AC$, והנקודה $F$ היא אמצע $BC$. לכן $EF$ הוא קטע אמצעים במשולש $ABC$: