בגרות קיץ תשפ״ג (2023) – מועד מיוחד

נקודת פיתול של $f$ היא נקודה שבה $f^{\prime \prime }$ מתאפסת ומחליפה סימן. נגזור את $f^{\prime }$:

נציב $x=\sqrt{2}$ ונשווה לאפס:

הגורם שבסוגריים מחליף שם סימן, ולכן זו אכן נקודת פיתול.

תשובה: $a=4$

עבור $a=4$:

נשים לב שהנגזרת של המעריך היא $-\frac{x}{2}$, ולכן:

לכן:

נציב את הנתון $f(0)=a=4$:

תשובה: $f(x)=4e^{-\frac{x^2}{4}}$

נציב $-x$:

לכן הפונקצייה זוגית, והגרף שלה סימטרי לציר ה־$y$.

תשובה: הפונקצייה זוגית.

הפונקצייה מוגדרת ורציפה לכל $x$, ולכן אין לה אסימפטוטה אנכית.

כאשר $x$ שואף לפלוס או למינוס אינסוף, המעריך שואף למינוס אינסוף:

לכן לשני הכיוונים יש אסימפטוטה אופקית:

תשובה: $y=0$ (לשני הכיוונים); אין אסימפטוטה אנכית.

הנגזרת מתאפסת רק ב־$x=0$:

תשובה: מקסימום: $(0,4)$

הגרף בצורת פעמון וסימטרי לציר ה־$y$. נקודת המקסימום שלו היא $(0,4)$, והאסימפטוטה $y=0$ משני הצדדים.

לפי סעיף א, יש לגרף שתי נקודות פיתול:

תשובה: סקיצה בסרטוט.

הנגזרת: פונקציה אי־זוגית שמוגדרת לכל $x$ ועוברת בראשית. משמאל לראשית היא חיובית, מימין לה שלילית, ובשני הכיוונים שואפת לאפס. זה גרף I.

הפונקצייה $h$: זו ההופכית של הנגזרת:

היא אינה מוגדרת בראשית, ושם יש לה אסימפטוטה אנכית. היא אי־זוגית: חיובית משמאל לראשית ושלילית מימין לה. בשני הכיוונים הערך המוחלט שלה שואף לאינסוף. זה גרף II.

הפונקצייה $m$: חזקה של $e$, ולכן חיובית בכל התחום.

משמאל לראשית $h$ חיובית, ולכן שם הערכים של $m$ גדולים מ־1.

מימין לראשית $h$ שלילית, ולכן שם $m$ בין אפס לאחד, ושואפת לאפס גם ליד הראשית וגם באינסוף. זה גרף III.

תשובה: גרף I – $f^{\prime }(x)$
גרף II – $h(x)$
גרף III – $m(x)$

לפי כלל השרשרת:

הגורם $e^h$ חיובי, ולכן $m$ יורדת בדיוק במקום שבו $h$ יורדת. נגזור את $h$:

הנגזרת שלילית כאשר:

כלומר באחד משני התחומים:

תשובה: $x<-\sqrt{2}$ או $x>\sqrt{2}$

בתחום שבין 1 ל־2 הנגזרת $f^{\prime }$ שלילית, ולכן גם $h$ שלילית. הפונקצייה $m$ חיובית תמיד.

לכן המכפלה שלילית בכל התחום:

אינטגרל של פונקצייה שלילית על קטע הוא שלילי, ולכן הביטוי שלילי.

לבדיקה, החישוב המספרי נותן:

תשובה: שלילי. בקטע הזה $h$ שלילית ו־$m$ חיובית, ולכן המכפלה שלילית.

הלוגריתם מוגדר רק עבור מספרים חיוביים, והמכנה חייב להיות שונה מאפס:

תחום ההגדרה:

תשובה: $x>0,x\ne 1$

נכתוב את הפונקצייה בצורה נוחה:

אסימפטוטה אנכית: ליד $x=1$ המכנה שואף לאפס והמונה ל־1, ולכן:

אסימפטוטה אופקית: כאשר $x\to \infty$ המנה $\frac{1}{\ln x}$ שואפת לאפס:

גם ליד הראשית (מימין) הפונקצייה שואפת לאותו ערך, אבל שם זו רק נקודה ריקה, כי הפונקצייה לא מוגדרת משמאל לאפס:

תשובה: $x=1$
$y=-1$

נגזור:

בכל תחום ההגדרה המכנה חיובי, ולכן הנגזרת שלילית תמיד.

הפונקצייה יורדת בכל אחד מהתחומים, ואין לה תחומי עלייה:

תשובה: ירידה:
$0<x<1,x>1$
אין תחומי עלייה.

נקודת חיתוך עם ציר ה־$x$:

משמאל ל־1: הגרף יורד מהנקודה הריקה $(0,-1)$ למינוס אינסוף.

מימין ל־1: הגרף יורד מפלוס אינסוף, חותך את ציר ה־$x$ בנקודה $(e,0)$, ושואף לאסימפטוטה האופקית.

תשובה: סקיצה בסרטוט.

הלוגריתם דורש ארגומנט חיובי, כלומר $f$ שלילית:

מנה שלילית כאשר המונה והמכנה בסימנים הפוכים:

מכנה שלילי – בין 0 ל־1. שם המונה חיובי, ולכן התחום מתאים.

מכנה חיובי – מימין ל־1. שם צריך מונה שלילי:

תחום ההגדרה:

תשובה: $0<x<1$ או $x>e$

ליד 1 משמאל: הפונקצייה $f$ שואפת למינוס אינסוף, ולכן הארגומנט שואף לאינסוף:

ליד $e$ מימין: הפונקצייה $f$ שואפת לאפס משמאל לציר, ולכן הארגומנט שואף לאפס מלמעלה:

באינסוף:

גם ליד הראשית $g$ שואפת לאפס, אבל שם זו רק נקודה ריקה.

תשובה: $x=1,x=e$
$y=0$

הפונקצייה חיובית כאשר הארגומנט גדול מ־1:

בתחום השני הארגומנט בין 0 ל־1, ולכן שם $g$ שלילית:

תשובה: חיובית: $0<x<1$
שלילית: $x>e$

בתחום הראשון: הגרף מתחיל בנקודה הריקה שבראשית ועולה לפלוס אינסוף ליד האסימפטוטה $x=1$.

בתחום השני: הגרף עולה ממינוס אינסוף ליד האסימפטוטה $x=e$ ושואף לציר ה־$x$ מלמטה.

הפונקצייה עולה בשני התחומים, כי הארגומנט $-f$ עולה.

תשובה: סקיצה בסרטוט.

בתחום הראשון $g$ חיובית ו־$f$ שלילית, ולכן אין שם חיתוך. החיתוך בנקודה $a$ נמצא בתחום שבו $x>e$.

בתחום זה $g$ עולה ו־$f$ יורדת, ולכן ההפרש עולה. הוא מתאפס ב־$a$, ולכן מימין ל־$a$ הוא חיובי:

ההפרש עולה, ולכן על הקטע הימני יותר ערכיו גדולים יותר:

באינסוף ההפרש שואף להפרש האסימפטוטות:

ההפרש עולה אל 1 ולכן תמיד קטן מ־1. אורך הקטע הוא 1, ולכן כל אחד מהאינטגרלים קטן מ־1:

לבדיקה, בחישוב מספרי:

תשובה: הגדול ביותר: III
הקטן ביותר: I