בגרות קיץ תשפ״ג (2023) – מועד ב׳

הלוגריתם מוגדר רק עבור $x>0$. המכנה מתאפס כאשר $\ln x=\ln a$ כלומר $x=a$:

תשובה: $x>0$ וגם $x\ne a$

אסימפטוטה אנכית: בנקודה $x=a$ המכנה מתאפס והמונה שווה ל־$2\ln a$ שאינו 0:

אסימפטוטה אופקית: כאשר $x\to \infty$ גם המונה וגם המכנה שואפים לאינסוף. נחלק כל אחד מהם ב־$\ln x$:

כאשר $x\to 0^{+}$ גם כן $f(x)\to 1$, אבל זה קצה התחום ולא אסימפטוטה. בגרף יש שם נקודה ריקה $(0,1)$.

תשובה: $x=a$
$y=1$

ציר ה־$y$: הנקודה $x=0$ אינה בתחום ולכן אין חיתוך.

ציר ה־$x$: המונה מתאפס:

תשובה: $\left(\frac{1}{a},0\right)$

לפי כלל המנה:

הפרמטר $a$ גדול מ־1 ולכן $\ln a>0$. המכנה חיובי בכל התחום. לכן הנגזרת שלילית בכל התחום.

תשובה: יורדת: $0<x<a$
יורדת: $x>a$

• משמאל לאסימפטוטה $x=a$: הגרף מתחיל קרוב לנקודה הריקה $(0,1)$, יורד, חותך את ציר ה־$x$ בנקודה $\frac{1}{a}$ ויורד למינוס אינסוף.
• מימין לאסימפטוטה: הגרף יורד מפלוס אינסוף ומתקרב ל־$y=1$ מלמעלה.

תשובה: ראו סקיצה

בתחום $x>a$ מתקיים $\ln x>\ln a>0$. לכן המונה גדול מהמכנה ושניהם חיוביים:

מסעיף א (4) הנגזרת שלילית בכל התחום:

פונקציה חיובית לא יכולה להיות שווה לפונקציה שלילית. לכן אין למשוואה אף פתרון בתחום, והטענה לא נכונה.

תשובה: הטענה לא נכונה – אין פתרון.

הלוגריתם מוגדר רק כאשר $f(x)>0$:

המונה והמכנה צריכים להיות באותו סימן. שניהם חיוביים כאשר $\ln x>\ln a$. שניהם שליליים כאשר $\ln x<-\ln a$:

תשובה: $0<x<\frac{1}{a}$ או $x>a$

• בתחום $0<x<\frac{1}{a}$ הפונקציה $f$ יורדת מ־1 ל־0. לכן $g$ יורדת מ־0 למינוס אינסוף ויש אסימפטוטה $x=\frac{1}{a}$.
• בתחום $x>a$ הפונקציה $f$ יורדת מאינסוף ל־1. לכן $g$ יורדת מאינסוף ל־0. יש אסימפטוטה $x=a$ והגרף מתקרב ל־$y=0$ מלמעלה.

תשובה: ראו סקיצה

מתקיים $a<2$ ולכן כל הקטע בין 2 ל־5 נמצא בתחום $x>a$. שם $g(x)>0$ ולכן:

לפי חוקי הלוגריתמים:

תשובה: $3\ln 2+S$

המכנה מתאפס כאשר $e^x=4$:

תשובה: $x\ne \ln 4$

אסימפטוטה אנכית: בנקודה $x=\ln 4$ המכנה מתאפס והמונה שווה ל־4:

אסימפטוטות אופקיות: כאשר $x\to \infty$ נחלק מונה ומכנה ב־$e^x$:

כאשר $x\to -\infty$ המונה שואף ל־0 והמכנה ל־$-4$:

תשובה: $x=\ln 4$
$y=1$ (מימין)
$y=0$ (משמאל)

לפי כלל המנה:

הנגזרת שלילית בכל התחום. לכן אין תחום עלייה.

תשובה: יורדת: $x<\ln 4$
יורדת: $x>\ln 4$

• משמאל לאסימפטוטה $x=\ln 4$ הגרף מתחיל קרוב ל־$y=0$ מלמטה. הוא יורד דרך $\left(0,-\frac{1}{3}\right)$ למינוס אינסוף.
• מימין לאסימפטוטה הגרף יורד מאינסוף ומתקרב ל־$y=1$ מלמעלה.

תשובה: ראו סקיצה

התחום הוא $x\ne \ln 4$ כמו של $f$.

• כאשר $x\to \infty$ הפונקציה שואפת ל־1. זו אסימפטוטה אופקית $y=1$.
• כאשר $x\to -\infty$ הפונקציה שואפת למינוס אינסוף ואין אסימפטוטה.
• בנקודה $x=\ln 4$ הפונקציה שואפת ל־0. אין שם אסימפטוטה אלא נקודה ריקה $(\ln 4,0)$.

תשובה: $y=1$

הנגזרת $g^{\prime }(x)=4e^{-x}$ חיובית, ולכן $g$ עולה בתחום $x<\ln 4$ ובתחום $x>\ln 4$ (הנקודה $x=\ln 4$ אינה בתחום ההגדרה). הגרף חותך את ציר ה־$y$ בנקודה $(0,-3)$, עובר דרך הנקודה הריקה $(\ln 4,0)$ ומתקרב ל־$y=1$ מלמטה.

תשובה: ראו סקיצה

בתחום הזה $g(x)<1$ ולכן האסימפטוטה מעל הגרף:

תשובה: $0.3$

תשובה: $(\ln 2,-1)$

לפי המשפט היסודי, כאשר המשתנה הוא הגבול התחתון:

נסמן $t=e^x$ ונחשב:

בתחום $x<\ln 3$ מתקיים $t<3$ ולכן המכנה $t(t-4)$ שלילי.

• כאשר $x<\ln 2$ המונה שלילי. לכן $f-g>0$ ו־$s^{\prime }<0$, כלומר $s$ יורדת.
• כאשר $\ln 2<x<\ln 3$ המונה חיובי. לכן $f-g<0$ ו־$s^{\prime }>0$, כלומר $s$ עולה.

לכן בנקודה $x=\ln 2$ יש מינימום.

תשובה: $x=\ln 2$ – מינימום