בגרות חורף תשפ״ג (2023)

נפרק את המכנה. נסמן $t=e^x$:

המכנה מתאפס כאשר $e^x=1$, כלומר $x=0$, או כאשר $e^x=4$, כלומר $x=\ln 4$.

תשובה: $x\ne 0,x\ne \ln 4$

אסימפטוטות אנכיות: בנקודות שבהן המכנה מתאפס המונה $2e^{2x}\ne 0$, ולכן $x=0$ ו־$x=\ln 4$ הן אסימפטוטות אנכיות.

אסימפטוטות אופקיות:

כאשר $x\to -\infty$: $e^x\to 0$, המונה שואף ל־$0$ והמכנה ל־$4$:

כאשר $x\to \infty$: נחלק מונה ומכנה ב־$e^{2x}$:

תשובה: אנכיות: $x=0$ ו־$x=\ln 4$. אופקיות: $y=0$ ו־$y=2$.

נגזור לפי כלל המנה (נסמן $D=e^{2x}-5e^x+4$, $D^{\prime }=2e^{2x}-5e^x$):

המכנה $D^2>0$ ו־$2e^{2x}>0$, לכן סימן הנגזרת הוא סימן $8-5e^x$. היא מתאפסת כאשר $e^x=\frac{8}{5}$, כלומר $x=\ln \frac{8}{5}$ (שנמצא בין $0$ ל־$\ln 4$).

תשובה: עלייה: $x<0$ וגם $0<x<\ln \frac{8}{5}$. ירידה: $\ln \frac{8}{5}<x<\ln 4$ וגם $x>\ln 4$.

לשתי הפונקציות אותו מכנה, ולכן נשווה מונים:

נחשב את $y$ (עם $e^x=\frac{5}{2}$):

תשובה: $\left(\ln \frac{5}{2},-\frac{50}{9}\right)$

כאשר $x>\ln 4$: $f(x)\to 2$ ו־$g(x)\to 0$ (נחלק ב־$e^{2x}$: $g=\frac{5e^{-x}}{1-5e^{-x}+4e^{-2x}}\to 0$). לכן חלק 1, השואף ל־$y=2$, שייך ל־$f$, וחלק 2 שייך ל־$g$.

כאשר $x<0$:

כאן $e^x<1$, לכן $2e^x-5<0$, ושני גורמי המכנה שליליים (המכנה חיובי). מכאן $f(x)-g(x)<0$: גרף $f$ מתחת לגרף $g$. לכן חלק 4 (התחתון) שייך ל־$f$ וחלק 3 ל־$g$.

כאשר $0<x<\ln 4$: לפי סעיף א, ל־$f$ יש מקסימום ב־$x=\ln \frac{8}{5}\approx 0.47$ שערכו $f=-\frac{32}{9}\approx -3.56$. ל־$g$:

מתאפסת ב־$x=\ln 2\approx 0.69$, ושם $g(\ln 2)=\frac{10}{-2}=-5$. כלומר המקסימום של $f$ גבוה יותר ושמאלי יותר – זהו חלק 5, וחלק 6 שייך ל־$g$.

תשובה: $f$: חלקים 1, 4, 5; $g$: חלקים 2, 3, 6

ביטוי I: בתחום $-4\le x\le -1$ (כלומר $x<0$) ראינו בסעיף ג כי גרף $f$ מתחת לגרף $g$, כלומר $f(x)-g(x)<0$. אינטגרל של פונקצייה שלילית על קטע שבו הגבול התחתון קטן מהעליון הוא שלילי.

ביטוי II: הקטע $\ln \frac{8}{5}\le x\le \ln 2$ נמצא בתוך $0<x<\ln 4$ ומשמאל לנקודת החיתוך $x=\ln \frac{5}{2}$. משמאל לנקודת החיתוך, בתחום זה, גרף $f$ (חלק 5) מעל גרף $g$ (חלק 6), כפי שרואים בסקיצה מסעיף ג (הגרפים אינם נחתכים בקטע, ולכן הסדר ביניהם קבוע בכולו). לכן $f(x)-g(x)>0$ בקטע, והאינטגרל חיובי.

תשובה: ביטוי I שלילי, ביטוי II חיובי

בתחום $\ln 9\le x\le \ln 16$ (מימין ל־$\ln 4$) גרף $f$ (חלק 1) מעל גרף $g$ (חלק 2), ולכן:

המונה הוא בדיוק הנגזרת של המכנה, ולכן הפונקצייה הקדומה היא $\ln$ של המכנה (המכנה חיובי בתחום):

תשובה: $S=\ln 4.5\approx 1.5$

הביטוי $\ln (x^2)$ מוגדר כאשר $x^2>0$, כלומר לכל $x\ne 0$.

תשובה: $x\ne 0$

$x=0$ אינו בתחום, ולכן:

תשובה: $(\pm \sqrt{e},0)$

התחום $x\ne 0$ סימטרי סביב $0$, ו־$(-x{)}^2=x^2$:

לכן הפונקצייה אי־זוגית.

תשובה: $f(-x)=-f(x)$ לכל $x\ne 0$ – הפונקצייה אי־זוגית.

לפי כלל המכפלה, ו־${\left(\ln (x^2)\right)}^{\prime }=\frac{2x}{x^2}=\frac{2}{x}$:

ומאי־הזוגיות: $f\left(-\frac{1}{\sqrt{e}}\right)=\frac{8}{\sqrt{e}}$.

תשובה: מקסימום: $\left(-\frac{1}{\sqrt{e}},\frac{8}{\sqrt{e}}\right)$; מינימום: $\left(\frac{1}{\sqrt{e}},-\frac{8}{\sqrt{e}}\right)$

$f^{\prime \prime }(x)\ne 0$ לכל $x$ בתחום. הסימן של $f^{\prime \prime }$ מתחלף רק ב־$x=0$ (שלילי משמאל, חיובי מימין), אבל $x=0$ אינו בתחום ההגדרה – לכן אין נקודת פיתול.

תשובה: אין נקודות פיתול: $f^{\prime \prime }(x)=\frac{8}{x}\ne 0$, ובנקודה $x=0$ הפונקצייה אינה מוגדרת.

כאשר $x\to 0$ גם $f(x)\to 0$ (הגורם $x\ln (x^2)$ שואף ל־$0$), ולכן בראשית יש „חור“ בגרף. כאשר $x\to \infty$, $f\to \infty$, וכאשר $x\to -\infty$, $f\to -\infty$.

תשובה: גרף אי־זוגי עם „חור“ בראשית: מקסימום $\left(-\frac{1}{\sqrt{e}},\frac{8}{\sqrt{e}}\right)$, מינימום $\left(\frac{1}{\sqrt{e}},-\frac{8}{\sqrt{e}}\right)$, וחיתוך עם ציר ה־$x$ ב־$\pm \sqrt{e}$.

$g(x)=\frac{1}{f(x)}$ מוגדרת כאשר $f$ מוגדרת וגם $f(x)\ne 0$, כלומר $x\ne 0$ ו־$x\ne \pm \sqrt{e}$.

תשובה: $x\ne 0,x\ne \pm \sqrt{e}$

אנכיות: כאשר $x\to \pm \sqrt{e}$ וכאשר $x\to 0$, $f(x)\to 0$ ולכן $g(x)\to \pm \infty$: האסימפטוטות $x=\sqrt{e}$, $x=-\sqrt{e}$, $x=0$.

אופקית: כאשר $x\to \pm \infty$, $|f(x)|\to \infty$ ולכן $g(x)\to 0$: האסימפטוטה $y=0$.

תשובה: $x=0,x=\pm \sqrt{e},y=0$

$g$ אי־זוגית (כמו $f$), סימנה כסימן $f$, והיא עולה היכן ש־$f$ יורדת ולהפך. לכן לגרף $g$ יש מינימום ב־$\left(-\frac{1}{\sqrt{e}},\frac{\sqrt{e}}{8}\right)$ ומקסימום ב־$\left(\frac{1}{\sqrt{e}},-\frac{\sqrt{e}}{8}\right)$.

תשובה: גרף אי־זוגי עם אסימפטוטות $x=0,x=\pm \sqrt{e},y=0$, מינימום $\left(-\frac{1}{\sqrt{e}},\frac{\sqrt{e}}{8}\right)$ ומקסימום $\left(\frac{1}{\sqrt{e}},-\frac{\sqrt{e}}{8}\right)$.

כלומר $f(x)=1$ או $f(x)=-1$.

נספור לפי הגרף של $f$ עבור $x>0$: $f$ יורדת מ־$0$ (ליד הראשית) עד $-\frac{8}{\sqrt{e}}\approx -4.85$, ואחר כך עולה עד $\infty$.

• $f(x)=-1$: פעם אחת בירידה ופעם אחת בעלייה – $2$ פתרונות.
• $f(x)=1$: רק בעלייה, אחרי $x=\sqrt{e}$ – פתרון $1$.

כלומר $3$ פתרונות עבור $x>0$, ומאי־הזוגיות עוד $3$ עבור $x<0$.

תשובה: $6$ נקודות חיתוך

המונה $\frac{2}{x}$ הוא הנגזרת של $\ln (x^2)-1$, ולכן (צורה $\frac{h^{\prime }}{h}$):

בדיקה: $G^{\prime }(x)=\frac{1}{8}\cdot \frac{2/x}{\ln (x^2)-1}=g(x)$.

תשובה: $G(x)=\frac{1}{8}\ln \left|\ln (x^2)-1\right|$ (בתוספת קבוע)