בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳

המכנים אינם יכולים להתאפס:

תשובה: $x\ne 0,x\ne \ln 5$

אסימפטוטות אנכיות: בנקודות שבהן מכנה מתאפס והמונה לא: $x=0$ ו־$x=\ln 5$.

אסימפטוטות אופקיות:

כאשר $x\to \infty$: $e^x\to \infty$, ולכן שני השברים שואפים ל־0:

כאשר $x\to -\infty$: $e^x\to 0$, ולכן:

תשובה: $x=0,x=\ln 5,y=a,y=a-2$

נגזור כל שבר לפי ${\left(\frac{c}{g}\right)}^{\prime }=-\frac{c{g}^{\prime }}{g^2}$:

בכל תחום ההגדרה $e^x>0$ והריבועים במכנים חיוביים, ולכן כל אחד משני המחוברים שלילי, וסכומם שלילי: $f^{\prime }(x)<0$ לכל $x$ בתחום ההגדרה.

תשובה: $f^{\prime }(x)=-\frac{e^x}{(e^x-1{)}^2}-\frac{5e^x}{(e^x-5{)}^2}<0$ בכל תחום ההגדרה.

האסימפטוטות האופקיות הן $y=a$ ו־$y=a-2$. הישר $y=2$ הוא אחת מהן:

$a=2$, או $a-2=2$ כלומר $a=4$.

תשובה: $a=2$ או $a=4$

עם $a=2$ נעבור למכנה משותף $(e^x-1)(e^x-5)$:

נפתח את המונה:

והמכנה: $(e^x-1)(e^x-5)=e^{2x}-6e^x+5$. לכן:

תשובה: הוכח: $f(x)=\frac{2e^{2x}-6e^x}{e^{2x}-6e^x+5}$

נשווה את המונה לאפס:

$e^x>0$, ולכן $e^x=3$, כלומר $x=\ln 3$ ‏(‏בתחום ההגדרה‏)‏.

תשובה: $(\ln 3,0)$

עם $a=2$ האסימפטוטות הן:

• אנכיות: $x=0$ ו־$x=\ln 5\approx 1.61$.
• אופקית מימין ‏(‏$x\to \infty$‏)‏: $y=2$.
• אופקית משמאל ‏(‏$x\to -\infty$‏)‏: $y=0$.

לפי סעיף ב, הפונקצייה יורדת בכל אחד משלושת הקטעים:

• $x<0$: יורדת מ־$0$ אל $-\infty$.
• $0<x<\ln 5$: יורדת מ־$+\infty$ אל $-\infty$, וחותכת את ציר ה־$x$ בנקודה $(\ln 3,0)$.
• $x>\ln 5$: יורדת מ־$+\infty$ אל $2$.

תשובה: סקיצה: יורדת בכל קטע, חותכת את ציר ה־$x$ ב־$(\ln 3,0)$. אסימפטוטות אנכיות: $x=0,x=\ln 5$. אופקיות: $y=0,y=2$.

$\ln 2\approx 0.69$ נמצא בקטע $0<x<\ln 5$. בקטע זה $f$ יורדת ומתאפסת ב־$x=\ln 3$, ולכן בין $\ln 2$ ל־$\ln 3$ הגרף מעל ציר ה־$x$. השטח:

המונה הוא הנגזרת של המכנה:

ולכן פונקציה קדומה היא:

נציב את הגבולות. נשתמש ב:

תשובה: $S=\ln \frac{4}{3}\approx 0.288$

נגזור (${\left(\ln u\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$):

$f^{\prime }(x)=0$ עבור $x=1$ ו־$x=7$. המכנה חיובי תמיד, ולכן הסימן נקבע לפי $-2(x-1)(x-7)$:

מינימום ב־$(1,8\ln 8-2)$ ומקסימום ב־$(7,8\ln 56-14)$.

תשובה: מינימום: $(1,14.64)$. מקסימום: $(7,18.20)$.

נגזור שוב (הנגזרת של $-2$ היא $0$), לפי כלל המנה:

$f^{\prime \prime }(x)=0$ עבור $x=\pm \sqrt{7}$. המכנה חיובי, ולכן:

• $f^{\prime \prime }>0$ ‏(‏קעורה כלפי מעלה‏)‏ כאשר $-\sqrt{7}<x<\sqrt{7}$.
• $f^{\prime \prime }<0$ ‏(‏קעורה כלפי מטה‏)‏ כאשר $x<-\sqrt{7}$ או $x>\sqrt{7}$.

תשובה: קעורה כלפי מעלה: $-\sqrt{7}<x<\sqrt{7}$; קעורה כלפי מטה: $x<-\sqrt{7}$ או $x>\sqrt{7}$.

נאסוף את הנתונים: מינימום $(1,14.64)$, מקסימום $(7,18.20)$, נקודות פיתול ב־$x=\pm \sqrt{7}$, חיתוך עם ציר ה־$y$ ב־$(0,8\ln 7)\approx (0,15.57)$, וחיתוך אחד עם ציר ה־$x$ ‏(‏מימין ל־$x=7$, כי שם הפונקצייה יורדת לאינסוף שלילי‏)‏.

כאשר $x\to -\infty$: $f(x)\to \infty$; כאשר $x\to \infty$: $f(x)\to -\infty$ ‏(‏האיבר $-2x$ גובר על הלוגריתם‏)‏.

תשובה: סקיצה: יורדת עד מינימום $(1,14.64)$, עולה עד מקסימום $(7,18.20)$, ואחר כך יורדת וחותכת את ציר ה־$x$ פעם אחת.

$g$ מוגדרת כאשר $f(x)>18$, ויש לה אסימפטוטה אנכית בכל נקודה שבה $f(x)=18$ ‏(‏שם $f(x)-18\to 0^{+}$ ולכן $g(x)\to -\infty$‏)‏.

נספור את הפתרונות של $f(x)=18$ לפי סעיף א:

• $x<1$: $f$ יורדת מ־$\infty$ אל $14.64<18$ – פתרון אחד.
• $1<x<7$: $f$ עולה מ־$14.64$ אל $18.20>18$ – פתרון אחד.
• $x>7$: $f$ יורדת מ־$18.20$ אל $-\infty$ – פתרון אחד.

לכן יש שלוש נקודות כאלה. נסמן אותן:

תחום ההגדרה של $g$:

תשובה: 3 אסימפטוטות אנכיות

נגזור לפי ${\left(\ln u\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$:

בתחום ההגדרה המכנה חיובי, ולכן ל־$g^{\prime }$ ול־$f^{\prime }$ יש אותו סימן.

$f^{\prime }=0$ רק ב־$x=1$ וב־$x=7$. הנקודה $x=1$ אינה בתחום של $g$, כי $f(1)\approx 14.64<18$.

לכן הקיצון היחיד הוא ב־$x=7$. שם $f$, ולכן גם $g$, עוברת מעלייה לירידה – זו נקודת מקסימום:

תשובה: מקסימום: $(7,-1.60)$

• $x<x_1$: כאשר $x\to -\infty$, $f\to \infty$ ולכן $g\to \infty$. $g$ יורדת ‏(‏כמו $f$‏)‏ אל $-\infty$ ליד $x_1$. בדרך היא חותכת את ציר ה־$x$ ‏(‏שם $f(x)=19$‏)‏.
• $x_2<x<x_3$: $g$ עולה מ־$-\infty$ אל המקסימום $(7,-1.60)$, ואחר כך יורדת אל $-\infty$. כל הענף הזה מתחת לציר ה־$x$.

תשובה: סקיצה: שני ענפים; שלוש אסימפטוטות אנכיות; ענף שמאלי יורד מ־$\infty$ ל־$-\infty$, ענף ימני מתחת לציר עם מקסימום $(7,-1.60)$.