בגרות קיץ תשפ״ב (2022) – מועד ב׳

$x^2$ ו־$e^{a-x^3}$ מוגדרים לכל $x$.

תשובה: כל $x$

לפי כלל המכפלה (${\left(e^{a-x^3}\right)}^{\prime }=-3x^2{e}^{a-x^3}$):

$e^{a-x^3}>0$, ולכן $f^{\prime }(x)=0$ כאשר $x=0$ או $x^3=\frac{2}{3}$, כלומר $x=\sqrt[3]{\frac{2}{3}}\approx 0.87$.

(בטבלה $0.87$ מייצג את $\sqrt[3]{\frac{2}{3}}$.)

תשובה: מינימום ב־$x=0$, מקסימום ב־$x=\sqrt[3]{\frac{2}{3}}\approx 0.87$

גרף $f^{\prime }$ חותך את ציר ה־$x$ ב־$x=0$ וב־$x=\sqrt[3]{\frac{2}{3}}$, וביניהן $f^{\prime }(x)>0$. לכן השטח הכלוא הוא:

נשווה לנתון:

תשובה: $a=1$

עם $a=1$: $f(x)=x^2{e}^{1-x^3}\ge 0$. נקודות הקיצון: מינימום $(0,0)$ ומקסימום $\left(\sqrt[3]{\frac{2}{3}},{\left(\frac{2}{3}\right)}^{\frac{2}{3}}{e}^{\frac{1}{3}}\right)\approx (0.87,1.07)$.

כאשר $x\to -\infty$: $f\to \infty$. כאשר $x\to \infty$: $e^{1-x^3}\to 0$ מהר, ו־$f\to 0$.

תשובה: הגרף מעל ציר ה־$x$ או עליו: מינימום $(0,0)$, מקסימום בקירוב $(0.87,1.07)$, ואחריו הגרף שואף ל־$0$.

$g$ היא פונקצייה קדומה של $f$, ולכן $g^{\prime }(x)=f(x)=x^2{e}^{1-x^3}$.

$g^{\prime }(x)\ge 0$ לכל $x$, ומתאפסת רק בנקודה הבודדת $x=0$. לכן $g$ עולה בכל תחום הגדרתה.

תשובה: $g$ עולה לכל $x$ (אין תחומי ירידה)

$g^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)$. נקודות פיתול של $g$ הן נקודות שבהן $g^{\prime \prime }=f^{\prime }$ מחליפה סימן – אלה נקודות הקיצון של $f$: $x=0$ ו־$x=\sqrt[3]{\frac{2}{3}}$ (לפי טבלת הסימנים בסעיף א).

תשובה: $2$ נקודות פיתול

נמצא פונקציות קדומות של $f$ (המונה $x^2$ הוא, עד כדי קבוע, הנגזרת של המעריך):

הנקודה $B$ היא נקודת הפיתול עם $x=\sqrt[3]{\frac{2}{3}}$; שם $1-x^3=\frac{1}{3}$:

תשובה: $g(x)=\frac{e}{3}-\frac{1}{3}{e}^{1-x^3}$

$f$ אי־זוגית, ולכן גרפה סימטרי ביחס לראשית ו־$f(0)=0$. יש לה בדיוק שתי נקודות קיצון, $(-1,-a)$ ו־$(1,a)$ עם $a>0$, ואסימפטוטה $y=0$.

לכן: משמאל ל־$x=-1$ הגרף יורד מ־$0$ (האסימפטוטה) עד המינימום $(-1,-a)$, עולה דרך הראשית עד המקסימום $(1,a)$, ואחר כך יורד ושואף שוב ל־$0$.

תשובה: גרף אי־זוגי שעובר בראשית, עם מינימום $(-1,-a)$ ומקסימום $(1,a)$, ושואף ל־$0$ בשני הצדדים.

$h(x)=\ln f(x)$ מוגדרת כאשר $f(x)>0$. לפי הסקיצה (ומכיוון שלפונקצייה אין קיצון נוסף), $f(x)>0$ בדיוק כאשר $x>0$.

תשובה: $x>0$

כאשר $x\to 0^{+}$: $f(x)\to 0^{+}$, ולכן $h(x)\to -\infty$ – אסימפטוטה אנכית $x=0$.

כאשר $x\to \infty$: $f(x)\to 0^{+}$, ולכן $h(x)\to -\infty$ – אין אסימפטוטה אופקית.

תשובה: $x=0$ בלבד

$\ln$ פונקצייה עולה, ולכן ל־$h$ יש מקסימום באותה נקודה כמו ל־$f$: $(1,\ln a)$, והיא עולה משמאל לה ויורדת מימין לה (בשני הצדדים שואפת ל־$-\infty$).

הגרף יחתוך את ציר ה־$x$ בשתי נקודות בדיוק כאשר המקסימום מעל ציר ה־$x$:

תשובה: $a>1$

עבור $a>1$: אסימפטוטה $x=0$, עלייה עד המקסימום $(1,\ln a)$ שמעל ציר ה־$x$, ירידה לאחריו, ושני חיתוכים עם ציר ה־$x$ (אחד משני צידי $x=1$).

תשובה: אסימפטוטה $x=0$, מקסימום $(1,\ln a)$ מעל ציר ה־$x$, ושתי נקודות חיתוך עם ציר ה־$x$.

$g$ קדומה של $f(x)=\frac{4x}{1+x^2}$. המונה הוא פי $2$ מהנגזרת של המכנה (${\left(1+x^2\right)}^{\prime }=2x$):

$g(0)=0$: $2\ln 1+C=0$, ולכן $C=0$.

תשובה: $g(x)=2\ln (1+x^2)$

לכן $g$ זוגית.

תשובה: זוגית

$g$ זוגית, ולכן השטח מתחת לגרפה בקטע $[-5,0]$ שווה לשטח בקטע $[0,5]$:

לכן $t=0$ מקיים את השוויון $2{\int }_{-5}^{t}g(x)dx={\int }_{-5}^{5}g(x)dx$.

זהו הערך היחיד: $g(x)>0$ לכל $x\ne 0$, ולכן ${\int }_{-5}^{t}g(x)dx$ גדל ממש ככל ש־$t$ גדל, ומקבל כל ערך פעם אחת בלבד.

תשובה: $t=0$