בגרות קיץ תשפ״ד (2024) – מועד ב׳

כאשר $x\to -\infty$: $e^x\to 0$, ולכן:

וגם $k(x)=x{e}^x\to 0$ ‏(‏האקספוננט שואף לאפס מהר יותר משהגורם $x$ גדל‏)‏.

כאשר $x\to \infty$ שתי הפונקציות שואפות לאינסוף, ולכן אין שם אסימפטוטה אופקית.

תשובה: $k(x):y=0$
$m(x):y=-1$

נגזור את $k$ לפי כלל המכפלה:

הגורם $e^x$ חיובי תמיד, ולכן הסימן נקבע לפי $x+1$:

הנגזרת של $m$:

לכן הפונקצייה $m$ עולה לכל $x$.

תשובה: הפונקצייה $k$ יורדת ב־$x<-1$ ועולה ב־$x>-1$.
הפונקצייה $m$ עולה לכל $x$.

תשובה: $k:(0,0)$
$m:(0,1)$

הגרף של $k$: משמאל הוא שואף ל־0 מתחת לציר, יורד עד המינימום, עובר בראשית ועולה לאינסוף. המינימום:

הגרף של $m$: עולה תמיד, משמאל שואף ל־$-1$, וחותך את ציר ה־$y$ ב־$(0,1)$.

נקודות החיתוך: הגרפים נחתכים ב־$x=a$ שלילי וב־$x=b$ חיובי. משמאל ל־$a$ הגרף של $k$ מעל הגרף של $m$; בין $a$ ל־$b$ הגרף של $m$ מעל; ומימין ל־$b$ שוב הגרף של $k$ מעל.

תשובה: סקיצה: לגרף של $k$ מינימום $\left(-1,-\frac{1}{e}\right)$ ואסימפטוטה $y=0$. הגרף של $m$ עולה, עם אסימפטוטה $y=-1$. שתי נקודות חיתוך.

אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס ב־$x=1$, והמונה שם הוא $e-1\ne 0$. לכן:

אסימפטוטה אופקית: כאשר $x\to -\infty$ המונה שואף ל־$-1$ והמכנה ל־$-\infty$, ולכן:

כאשר $x\to \infty$ הפונקצייה שואפת לאינסוף, ושם אין אסימפטוטה.

תשובה: $x=1$
$y=0$ ‏(‏כאשר $x\to -\infty$‏)‏

תשובה: $(0,0)$

נגזור לפי כלל המנה:

המונה שווה בדיוק להפרש $k(x)-m(x)$:

לכן $f^{\prime }(x)=0$ בדיוק כאשר $k(x)=m(x)$, כלומר בנקודות החיתוך של שני הגרפים.

נתון שיש בדיוק שתי נקודות חיתוך. שתיהן שונות מ־1, כי ב־$x=1$ הערכים שונים:

לכן למשוואה יש בדיוק שני פתרונות:

תשובה: המונה של $f^{\prime }$ שווה ל־$k(x)-m(x)$, ולכן $f^{\prime }=0$ רק בשתי נקודות החיתוך: $x=a$ ו־$x=b$.

נסמן את ההפרש:

נגזור:

לכן $h$ יורדת משמאל ל־1 ועולה מימין ל־1, ויש לה מינימום ב־$x=1$:

בכל צד של 1 הפונקצייה $h$ מונוטונית, ולכן יש לה שם לכל היותר שורש אחד. יש לה בדיוק שני שורשים, ולכן אחד בכל צד:

תשובה: המינימום של $k-m$ הוא ב־$x=1$ והוא שלילי, ולכן יש שורש אחד מכל צד של 1. לכן $b>1$.

המכנה של $f^{\prime }$ חיובי, ולכן הסימן של $f^{\prime }$ הוא הסימן של $h=k-m$.

לפי הסקיצה בסעיף ב, $h>0$ כאשר הגרף של $k$ מעל הגרף של $m$, כלומר משמאל ל־$a$ ומימין ל־$b$. בין $a$ ל־$b$ מתקיים $h<0$. הנקודה $x=1$ אינה בתחום ההגדרה:

תשובה: עלייה: $x<a$ או $x>b$.
ירידה: $a<x<1$ או $1<x<b$.

משמאל לאסימפטוטה $x=1$: כאשר $x\to -\infty$ הפונקצייה שואפת ל־0. עבור $x<0$ המונה והמכנה שליליים, ולכן $f>0$.

הפונקצייה עולה עד מקסימום ב־$x=a$. הנקודה $a$ שלילית, כי $h$ יורדת משמאל ל־1 וכבר $h(0)=-1<0$.

אחר כך $f$ יורדת, עוברת בראשית, ושואפת למינוס אינסוף ליד $x=1$ משמאל.

מימין ל־$x=1$: הפונקצייה יורדת מפלוס אינסוף עד מינימום ב־$x=b$, ואחר כך עולה לאינסוף.

תשובה: סקיצה: אסימפטוטות $x=1$ ו־$y=0$; מקסימום ב־$x=a$; מינימום ב־$x=b$; עוברת בראשית.

תשובה: $(\sqrt{e},0)$

הנגזרת של $g$ היא $f$:

נמצא פונקציה קדומה בעזרת שתי נגזרות מוכרות:

ולכן:

לפי הגרף, $f$ מחליפה סימן רק ב־$x=\sqrt{e}$, ולכן שם נקודת הקיצון של $g$. בנקודה זו $\ln x=\frac{1}{2}$:

נתון ששיעור ה־$y$ של הקיצון הוא $-\frac{1}{4}$, ולכן $C=0$:

תשובה: $g(x)={\ln }^{2}x-\ln x$

תשובה: $(1,0)$ ו־$(e,0)$

לפי הגרף של $f$, שהיא הנגזרת של $g$: משמאל ל־$\sqrt{e}$ היא שלילית ומימין לו חיובית. לכן $g$ יורדת ואחר כך עולה, עם מינימום:

כאשר $x$ שואף ל־0 מימין, $\ln x$ שואף למינוס אינסוף, ולכן $g$ שואפת לפלוס אינסוף – הישר $x=0$ הוא אסימפטוטה. כאשר $x$ שואף לאינסוף, גם $g$ שואפת לאינסוף.

תשובה: סקיצה: מינימום $\left(\sqrt{e},-\frac{1}{4}\right)$; חיתוכים $(1,0)$ ו־$(e,0)$; אסימפטוטה $x=0$.

הפונקצייה $h$ מוגדרת כאשר $g$ מוגדרת, כלומר $x>0$, וגם המכנה $g(x)$ שונה מאפס. לפי סעיף ב(2) $g$ מתאפסת ב־1 וב־$e$, ולכן:

תשובה: $x>0,x\ne 1,x\ne e$

נבדוק מתי $h$ מתאפסת:

הערך המינימלי של $g$ הוא $-\frac{1}{4}$, כלומר:

נתון $b>\frac{1}{4}$, ולכן:

לכן אין $x$ שבו $g(x)=-b$, והגרף של $h$ אינו חותך את ציר ה־$x$.

תשובה: לא. הגרף של $h$ אינו חותך את ציר ה־$x$, כי הערך המינימלי של $g$ הוא $-\frac{1}{4}$, שגדול מ־$-b$.

נגזור:

הגורמים $b$ ו־$g^2$ חיוביים, ולכן הסימן של $h^{\prime }$ הפוך לסימן של $g^{\prime }$.

הנגזרת $g^{\prime }$ מתאפסת רק ב־$x=\sqrt{e}$, ועוברת שם משלילי לחיובי. לכן $h^{\prime }$ עוברת שם מחיובי לשלילי, וזו נקודת מקסימום:

תשובה: מקסימום: $\left(\sqrt{e},1-4b\right)$

נבדוק את ההתנהגות של $h$ בכל קטע.

בקטע בין 0 ל־1: שם $g$ חיובית ויורדת לאפס, ולכן $h$ גדולה מ־1 ועולה לפלוס אינסוף ליד $x=1$. ליד ציר ה־$y$ הפונקצייה $g$ שואפת לאינסוף, ולכן $h$ שואפת ל־1.

בקטע בין 1 ל־$e$: שם $g$ שלילית, ולכן $h$ שואפת למינוס אינסוף בשני הקצוות. נקודת המקסימום שלה היא $(\sqrt{e},1-4b)$, והיא מתחת לציר ה־$x$ כי $b>\frac{1}{4}$.

מימין ל־$e$: שם $g$ חיובית ועולה, ולכן $h$ יורדת מפלוס אינסוף ושואפת ל־1.

הגרף המתאים הוא גרף $II$.

תשובה: גרף $II$