בגרות קיץ תשפ״ד (2024) – מועד א׳

המכנה מתאפס כאשר $e^x=4$:

תשובה: $x\ne \ln 4$

אסימפטוטה אנכית: כאשר $x=\ln 4$ המכנה מתאפס והמונה שווה ל־$4-b$ שאינו 0 כי $b\ne 4$:

אסימפטוטות אופקיות: כאשר $x\to \infty$ המכנה גדל כמו $e^{2x}$ והמונה רק כמו $e^x$:

כאשר $x\to -\infty$ מתקיים $e^x\to 0$:

תשובה: $x=\ln 4$
$y=0$ (מימין)
$y=-\frac{b}{16}$ (משמאל)

ציר ה־$y$: נציב $x=0$:

ציר ה־$x$: המונה מתאפס:

תשובה: $\left(0,\frac{1-b}{9}\right)$
$(\ln b,0)$

לפי כלל המנה ואחרי הוצאת הגורם המשותף $e^x(e^x-4)$:

בנקודה $x=\ln 12$ הנגזרת מתאפסת:

סוג הקיצון: ליד $x=\ln 12$ המכנה חיובי כי $e^x>4$. הגורם $12-e^x$ חיובי משמאל לנקודה ושלילי מימין לה. לכן זו נקודת מקסימום:

תשובה: $b=8$
מקסימום: $\left(\ln 12,\frac{1}{16}\right)$

הפונקציה $g$ מוגדרת כאשר $f$ מוגדרת ושונה מ־0. עם $b=8$ הפונקציה $f$ מתאפסת בנקודה $x=\ln 8$:

תשובה: $x\ne \ln 4$ וגם $x\ne \ln 8$

אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס בנקודה $x=\ln 8$ והמונה שם 16:

בנקודה $x=\ln 4$ אין אסימפטוטה. שם $g$ שואפת ל־0 ויש בגרף "חור".

אסימפטוטה אופקית: כאשר $x\to -\infty$:

כאשר $x\to \infty$ הפונקציה שואפת לאינסוף ואין אסימפטוטה בצד ימין.

תשובה: $x=\ln 8$
$y=-2$ (משמאל)

נתוני $f$ עם $b=8$:

• משמאל לאסימפטוטה $x=\ln 4$ הפונקציה יורדת מ־$-\frac{1}{2}$ למינוס אינסוף.
• מימין לה היא עולה ממינוס אינסוף דרך $(\ln 8,0)$ עד המקסימום $\left(\ln 12,\frac{1}{16}\right)$. אחר כך היא יורדת אל 0.

נתוני $g=\frac{1}{f}$:

• משמאל ל־$\ln 4$ היא עולה מ־$-2$ אל 0. בנקודה $x=\ln 4$ יש חור.
• בין $\ln 4$ ל־$\ln 8$ היא יורדת מ־0 למינוס אינסוף.
• מימין ל־$\ln 8$ היא יורדת מאינסוף עד המינימום $(\ln 12,16)$ ואחר כך עולה.

תשובה: ראו סקיצה

בנקודת חיתוך מתקיים $f(x)=g(x)=\frac{1}{f(x)}$. לכן:

נסמן $t=e^x$ ונבדוק כל אפשרות.

האפשרות $f=1$:

הדיסקרימיננטה $81-96$ שלילית ואין פתרון.

האפשרות $f=-1$:

שני הפתרונות חיוביים ושונים מ־4 ומ־8. לכן יש שתי נקודות חיתוך ושיעור ה־$y$ של שתיהן הוא $-1$.

תשובה: $y=-1$

בקטע בין $-2$ ל־$-1$ מתקיים $e^x<4$. שם המכנה של $f^{\prime }$ שלילי והמונה חיובי ולכן $f$ יורדת. בנוסף $f$ שלילית שם.

נסמן $u=f(x)$. אז ההפרש הוא:

הביטוי הזה עולה כשהערך של $u$ עולה כי הנגזרת שלו $1+\frac{1}{u^2}$ חיובית. לכן ההפרש יורד בקטע והערך הגדול ביותר שלו הוא בנקודה $x=-2$:

בכל הקטע ההפרש קטן מ־1.5 ואורך הקטע הוא 1. לכן:

תשובה: קטן מ־$1\frac{1}{2}$

נסמן $L=\ln x$. לפי כלל המכפלה:

הנגזרת אינה שלילית בכל התחום. היא מתאפסת רק בנקודה $x=1$ ושם אין החלפת סימן. לכן הפונקציה עולה בכל התחום ואין תחום ירידה.

תשובה: עולה: $x>0$
אין תחום ירידה

הנגזרת השנייה מתאפסת בנקודה $x=1$. משמאל לנקודה היא שלילית ומימין חיובית ולכן יש שם החלפת קעירות:

תשובה: $(1,2)$

נשלים לריבוע את הביטוי שבסוגריים:

גם $x$ חיובי בכל התחום. לכן הפונקציה חיובית בכל התחום ואין לה תחום שליליות.

תשובה: חיובית: $x>0$
אין תחום שליליות

• כאשר $x\to 0^{+}$ הפונקציה שואפת ל־0. הנקודה $(0,0)$ אינה בתחום.
• הפונקציה עולה בכל התחום.
• בנקודה $(1,2)$ יש נקודת פיתול עם משיק אופקי.
• הפונקציה חיובית ואינה חותכת את הצירים.

תשובה: ראו סקיצה

הנגזרת היא $f^{\prime }(x)=(\ln x{)}^2$:

• כאשר $x\to 0^{+}$ היא שואפת לאינסוף.
• היא יורדת עד 0 בנקודה $x=1$ ונוגעת שם בציר ה־$x$. זו נקודת המינימום שלה והיא מתאימה לנקודת הפיתול של $f$.
• אחר כך היא עולה לאט.

תשובה: ראו סקיצה

נקודות החיתוך עם ציר ה־$x$:

בין שתי הנקודות $g$ שלילית.

פונקציה קדומה: בסעיף א ראינו ש־$f^{\prime }(x)=(\ln x{)}^2$. לכן $f$ היא פונקציה קדומה של $(\ln x{)}^2$:

השטח הוא מינוס האינטגרל:

תשובה: $2e^2+\frac{6}{e^2}$

האנכים הם $x=e^{-2}$ ו־$x=e^2$. בקטע הזה $h$ חיובית כי $f$ חיובית, ו־$g$ אינה חיובית. לכן $h$ מעל $g$.

פונקציה קדומה של $h$ מתקבלת מהצבה $L=\ln x$:

השטח הוא האינטגרל של $h-g$:

תשובה: $\frac{40}{3}+2e^2+\frac{6}{e^2}$