בגרות חורף תשפ״ד (2024)

נגזור את $g$ לפי כלל המנה:

נצמצם ב־$e^x$ ונוציא גורם משותף:

נשווה לפונקציה $f$:

תשובה: $a=1$

עבור $a=1$:

חיתוך עם ציר ה־$y$:

חיתוך עם ציר ה־$x$ (המכנה חיובי תמיד):

תשובה: $(0,1)$
$(-1,0),(1,0)$

חיתוך עם ציר ה־$y$:

חיתוך עם ציר ה־$x$:

תשובה: $(0,1)$
$(-1,0)$

הפונקצייה $g$: לפי סעיף א הנגזרת שלה היא $f$, שמתאפסת ב־$x=\pm 1$:

הפונקצייה $f$: נגזור:

הנגזרת מתאפסת כאשר:

המונה הוא פרבולה ישרה, ולכן הנגזרת חיובית מחוץ לשורשים ושלילית ביניהם:

תשובה: לפונקצייה $g$:
$\min (-1,0)$
$\max \left(1,\frac{4}{e}\right)$
לפונקצייה $f$:
$\max (1-\sqrt{2},1.25)$
$\min (1+\sqrt{2},-0.43)$

כאשר $x\to \infty$ שתי הפונקציות שואפות ל־0, כי $e^x$ גדל מהר יותר מכל פולינום. לכן $y=0$ אסימפטוטה מימין לשתיהן.

כאשר $x\to -\infty$ הפונקצייה $g$ שואפת לפלוס אינסוף, והפונקצייה $f$ למינוס אינסוף.

נשים לב: הפונקצייה $f$ היא הנגזרת של $g$ (לפי סעיף א). לכן היא חיובית בדיוק בתחום שבו $g$ עולה, ומתאפסת בנקודות הקיצון.

תשובה: סקיצה בסרטוט. מימין, שתי הפונקציות שואפות לאפס.

הפונקצייה $f$ חיובית בין שתי נקודות החיתוך שלה עם ציר ה־$x$:

לפי סעיף א, הפונקצייה $g$ היא פונקציה קדומה של $f$:

תשובה: $\frac{4}{e}\approx 1.47$

נשים לב שהגורם הראשון הוא $\frac{1}{g^2(x)}$:

והגורם השני הוא מינוס הנגזרת של $g$:

לכן האינטגרנד הוא נגזרת של $\frac{1}{g}$:

תשובה: $\frac{e^2}{9}-\frac{e}{4}\approx 0.14$

הלוגריתם מוגדר רק עבור מספרים חיוביים, ולכן $x>0$ בתחום.

בנוסף, המכנה חייב להיות שונה מאפס:

השוויון מתקיים בנקודת החיתוך של הגרף של $f$ עם הישר היורד, כלומר בנקודה $A$.

לפי הסרטוט יש נקודת חיתוך אחת כזו, ושיעור ה־$x$ שלה הוא $a$.

לכן תחום ההגדרה:

תשובה: $x>0,x\ne a$

הפונקצייה מתאפסת כאשר המונה מתאפס:

לפי הסרטוט, הגרף של $f$ כולו מתחת לישר העולה ואינו חותך אותו. לכן למשוואה אין פתרון.

תשובה: אין נקודות חיתוך כאלה.

נחלק את המונה והמכנה ב־$x$:

כאשר $x\to \infty$ מתקיים $\frac{\ln x}{x}\to 0$, ולכן:

כאשר $x\to 0^{+}$ הפונקצייה שואפת ל־1, אבל $x\le 0$ אינו בתחום, ולכן זו אינה אסימפטוטה (רק נקודת קצה פתוחה).

האסימפטוטה המקבילה לציר ה־$x$:

תשובה: $y=-1$

הנקודה $A$ נמצאת על הגרף של $f$, שמוגדר רק עבור $x>0$. לכן $a$ חיובי.

היא נמצאת גם על הישר היורד, ולכן שיעור ה־$y$ שלה שלילי:

הלוגריתם שלילי רק עבור מספרים שקטנים מ־1, ולכן:

תשובה: הנקודה $A$ על גרף הלוגריתם ועל הישר היורד, ולכן:
$\ln a=-a<0$
הלוגריתם שלילי רק בין 0 ל־1, ולכן:
$0<a<1$

נסמן $L=\ln x$ ונגזור לפי כלל המנה:

כאשר המונה הוא:

נפתח את המונה:

ולכן:

המכנה חיובי, והנגזרת מתאפסת כאשר $\ln x=1$:

משמאל ל־$e$ הנגזרת חיובית ומימין לו שלילית, ולכן זו נקודת מקסימום:

תשובה: מקסימום: $\left(e,\frac{1-e}{1+e}\right)$

הסימן של הנגזרת נקבע לפי המונה:

הנקודה $a$ אינה בתחום ההגדרה, ומתקיים:

תשובה: עלייה:
$0<x<a,a<x<e$
ירידה:
$x>e$

נבדוק את ההתנהגות ליד $x=a$. בנקודה זו המונה הוא:

המכנה הוא פונקציה עולה שמתאפסת בנקודה $a$. לכן הוא שלילי משמאל לנקודה וחיובי מימינה:

כלומר $x=a$ היא אסימפטוטה אנכית.

משמאל ל־$a$: הגרף מתחיל ליד הנקודה $(0,1)$ (לא כלולה) ועולה לפלוס אינסוף.

מימין ל־$a$: הגרף עולה ממינוס אינסוף עד המקסימום ב־$x=e$, ואז יורד ושואף לאסימפטוטה האופקית. כל החלק הזה מתחת לציר ה־$x$.

תשובה: סקיצה בסרטוט. אסימפטוטות:
$x=a,y=-1$
מקסימום ב־$x=e$

הפונקצייה $e^t$ עולה וחיובית, ולכן $h$ מוגדרת באותו תחום כמו $g$, עולה ויורדת באותם תחומים, ותמיד חיובית.

נעביר את הגבולות של $g$:

נקודת המקסימום של $h$ היא גם ב־$x=e$:

לכן לגרף יש אסימפטוטה אנכית (רק משמאל לנקודה $a$) ואסימפטוטה אופקית:

תשובה: סקיצה בסרטוט. הגרף חיובי. אסימפטוטות:
$x=a,y=\frac{1}{e}$
מקסימום ב־$x=e$