בגרות קיץ תשפ״ב (2022) – מועד א׳

$f(x)=(x-2)e^x+1$, מוגדרת לכל $x$ – אין אסימפטוטות אנכיות.

כאשר $x\to -\infty$: $(x-2)e^x\to 0$, ולכן $f(x)\to 1$.

כאשר $x\to \infty$: $f(x)\to \infty$.

תשובה: $y=1$ (כאשר $x\to -\infty$); אין אסימפטוטה אנכית

נציב $x=0$:

תשובה: $(0,-1)$

$e^x>0$, ולכן $f^{\prime }(x)=0$ רק ב־$x=1$. משמאל ל־$1$ הנגזרת שלילית ומימין חיובית:

תשובה: מינימום $(1,1-e)\approx (1,-1.718)$

תשובה: ראו סקיצה.

המכנה חיובי לכל $x$ ($e^x\ge x+1>x$).

כאשר $x\to \infty$ נחלק מונה ומכנה ב־$e^x$:

כאשר $x\to -\infty$: המונה שואף ל־$1$ והמכנה ל־$\infty$, ולכן $g(x)\to 0$.

תשובה: $y=-1$ (כאשר $x\to \infty$), $y=0$ (כאשר $x\to -\infty$)

תשובה: $(0,0)$

נפתח את המונה:

תשובה: הוכחה: המונה של $g^{\prime }$ שווה ל־$f(x)$.

המכנה $(e^x-x{)}^2$ חיובי, ולכן סימן $g^{\prime }$ הוא סימן $f$.

מהסקיצה של $f$: היא חותכת את ציר ה־$x$ פעמיים – בנקודה $x_1<0$ (כי $f\to 1$ משמאל ו־$f(0)=-1$) ובנקודה $x_2>1$ (כי המינימום שלילי ו־$f\to \infty$).

$f>0$ עבור $x<x_1$, $f<0$ עבור $x_1<x<x_2$, $f>0$ עבור $x>x_2$.

לכן ל־$g$ יש מקסימום ב־$x_1$ ומינימום ב־$x_2$ – שתי נקודות קיצון. (אין צורך למצוא את $x_1$ ו־$x_2$ במדויק; המשוואה $f(x)=0$ אינה נפתרת אלגברית, ופתרון מקורב במחשבון אינו מותר בבחינה.)

תשובה: שתי נקודות קיצון: מקסימום אחת ומינימום אחת

תשובה: ראו סקיצה.

בתחום $-1\le x\le 0$ מתקיים $g(x)\ge 0$ (המונה $1-e^x\ge 0$), והגרף פוגש את ציר ה־$x$ ב־$x=0$.

שימו לב שהמונה הוא מינוס הנגזרת של המכנה: $(e^x-x{)}^{\prime }=e^x-1$.

תשובה: $S=\ln \left(1+\frac{1}{e}\right)\approx 0.313$

הביטוי שבתוך הלוגריתם חייב להיות חיובי:

תשובה: $x<-\sqrt{8}$ או $x>\sqrt{8}$

כאשר $x^2-8\to 0^{+}$: $\ln (x^2-8)\to -\infty$, ולכן יש אסימפטוטות אנכיות $x=\pm \sqrt{8}$.

כאשר $x\to \pm \infty$ הפונקציה שואפת ל־$\pm \infty$ – אין אסימפטוטה אופקית.

תשובה: $x=\sqrt{8}$, $x=-\sqrt{8}$

$x=2$ לא בתחום ההגדרה, ולכן הנקודה היחידה היא $x=-4$. עבור $x<-4$ הנגזרת חיובית, ועבור $-4<x<-\sqrt{8}$ שלילית:

תשובה: מקסימום $(-4,-4+\ln 8)\approx (-4,-1.92)$

תשובה: ראו סקיצה.

המכנה $x^2-8$ חיובי בתחום של $f$ ומתאפס רק בקצותיו, ולכן:

תשובה: $x<-\sqrt{8}$ או $x>\sqrt{8}$

ב־$x=\pm \sqrt{8}$ המכנה מתאפס והמונה לא ($\pm 4\sqrt{2}\ne 0$) – אסימפטוטות אנכיות.

כאשר $x\to \pm \infty$ היחס שואף ל־$1$.

תשובה: $x=\pm \sqrt{8}$ ו־$y=1$

מסעיף א (3): $f^{\prime }(x)=0$ רק ב־$x=-4$. ציר ה־$y$ ($x=0$) אינו בתחום.

תשובה: $(-4,0)$; אין חיתוך עם ציר ה־$y$

תשובה: ראו סקיצה.

$e^{f(x)}>0$, ולכן ל־$g^{\prime }$ ול־$f^{\prime }$ אותו סימן, ו־$g$ מקבלת מקסימום באותה נקודה כמו $f$.

תשובה: מקסימום $\left(-4,\frac{8}{e^4}\right)\approx (-4,0.147)$

$g^{\prime }$ ו־$f^{\prime }$ באותו סימן, ולכן תחומי העלייה והירידה של $g$ זהים לאלה של $f$:

תשובה: עולה: $x<-4$ ו־$x>\sqrt{8}$; יורדת: $-4<x<-\sqrt{8}$

$y=f^{\prime }(x)\cdot g(x)=f^{\prime }(x)e^{f(x)}=g^{\prime }(x)$. בתחום $-5\le x\le -4$ מתקיים $f^{\prime }(x)\ge 0$, ולכן $y\ge 0$.

$g(x)=e^{x+\ln (x^2-8)}=(x^2-8)e^x$:

תשובה: $S=8e^{-4}-17e^{-5}\approx 0.032$