בגרות חורף תשפ״ה (2025)

אסימפטוטה אנכית: המכנה $1-e^x$ מתאפס כאשר $x=0$ והמונה שונה מאפס. לכן:

אסימפטוטה אופקית: כאשר $x\to -\infty$ מתקיים

כאשר $x\to \infty$ הביטוי $e^x$ שואף לאינסוף והשבר שואף ל־0. לכן גם $f(x)$ שואפת לאינסוף ואין אסימפטוטה בצד ימין. האסימפטוטה האופקית היא בצד שמאל:

תשובה: אנכית: $x=0$
אופקית (משמאל): $y=-1$

ציר ה־$y$: הנקודה $x=0$ אינה בתחום ההגדרה ולכן אין חיתוך.

ציר ה־$x$: נשווה ל־0 ונסמן $t=e^x$ כאשר $t>0$:

הדיסקרימיננטה שלילית ולכן אין פתרון.

תשובה: אין נקודות חיתוך עם הצירים.

הנגזרת של $\frac{1}{1-e^x}$ היא $\frac{e^x}{(1-e^x{)}^2}$, ולכן:

$f^{\prime }(x)=0$ כאשר $(1-e^x{)}^2=1$:

(אין פתרון)

סימן הנגזרת לפי $(1-e^x{)}^2$ לעומת 1:

תשובה: מינימום: $(\ln 2,3)$

נאסוף את הנתונים:

• משמאל ל־0 הגרף מתחיל קרוב לאסימפטוטה $y=-1$ ויורד. ליד 0 הוא יורד למינוס אינסוף.
• מימין ל־0 הגרף יורד מפלוס אינסוף עד המינימום $(\ln 2,3)$ ואחריו עולה לאינסוף.
• אין חיתוך עם הצירים.

תשובה: משמאל ל־0: יורדת מהאסימפטוטה $y=-1$ אל $-\infty$
מימין ל־0: מינימום $(\ln 2,3)$
אסימפטוטות: $x=0$ ו־$y=-1$

תשובה: $x>0$

נגזור את $g$:

מצד שני:

ולכן לכל $x>0$ מתקיים $g^{\prime }(x)=f(x)-e^x$.

תשובה: הוכח: $g^{\prime }(x)=\frac{1}{e^x-1}=f(x)-e^x$

האנך עובר בנקודה $x=\ln 2$. בתחום שמימין ל־0 הפונקציה חיובית כי המינימום שלה הוא 3. לכן השטח הוא האינטגרל של $f$ בין $\ln 2$ ל־$\ln b$.

מסעיף ג (2) נובע:

ולכן פונקציה קדומה של $f$ היא $e^x+g(x)$:

תשובה: $S=b-2+\ln \frac{2(b-1)}{b}$

תשובה: $b=4$

אסימפטוטה אנכית: כאשר $x\to 0^{+}$ המונה שואף למינוס אינסוף והמכנה שואף ל־0 מצד חיובי. לכן:

אסימפטוטה אופקית: כאשר $x\to \infty$ הלוגריתם גדל לאט הרבה יותר מ־$x$. לכן:

תשובה: אנכית: $x=0$
אופקית: $y=0$

תשובה: $\left(e^{-a},0\right)$

לפי כלל המנה:

נשווה ל־0:

המכנה $x^2$ חיובי. המונה $1-a-\ln x$ חיובי משמאל לנקודה ושלילי מימין לה. לכן הפונקציה עולה ואחר כך יורדת והנקודה היא מקסימום.

תשובה: מקסימום: $\left(e^{1-a},e^{a-1}\right)$

• ליד ציר ה־$y$ הגרף מתחיל במינוס אינסוף ועולה.
• הוא חותך את ציר ה־$x$ בנקודה $\left(e^{-a},0\right)$.
• הוא ממשיך לעלות עד המקסימום $\left(e^{1-a},e^{a-1}\right)$.
• אחר כך הוא יורד ומתקרב לציר ה־$x$ מלמעלה.

תשובה: עולה מ־$-\infty$ דרך $\left(e^{-a},0\right)$
מקסימום $\left(e^{1-a},e^{a-1}\right)$
ואז יורדת אל $y=0$

בנקודה $x=e^2$ ערכי הפונקציות שווים:

תשובה: $a=-1$

עם $a=-1$:

פונקציה קדומה של $\ln x\cdot \frac{1}{x}$ היא $\frac{(\ln x{)}^2}{2}$, ולכן:

נציב את הנקודה $\left(e^5,2.5\right)$:

תשובה: $h(x)=\frac{(\ln x{)}^2}{2}-2\ln x$

נכתוב את $h$ כמכפלה:

• אפסים: כאשר $\ln x=0$ וכאשר $\ln x=4$. אלה הנקודות $x=1$ ו־$x=e^4$.
• קיצון: הנגזרת מתאפסת כאשר $\ln x=2$. בנקודה $x=e^2$ הערך הוא $h=2-4=-2$ וזה מינימום.
• קצוות: כאשר $x\to 0^{+}$ הפונקציה שואפת לאינסוף. גם כאשר $x\to \infty$ היא שואפת לאינסוף.

לכן הגרף של $|h(x)|$:

• יורד מאינסוף עד 0 בנקודה $x=1$.
• עולה עד 2 בנקודה $x=e^2$.
• חוזר ל־0 בנקודה $x=e^4$.
• אחר כך עולה בלי הגבלה.

הנקודה $x=1$ קרובה מאוד לציר ה־$y$ ביחס ל־$e^4$ שהוא בערך 54.6.

הגרף צריך לגעת בציר ה־$x$ פעמיים ולעלות בסוף. רק גרף I מתאים. בגרפים II ו־III יש נגיעה אחת בלבד בציר. בגרף IV הגרף שואף ל־0 בסוף במקום לעלות.

תשובה: גרף I