מצגת הסבר – וקטורים

13 שקפים · וקטורים בגוף, מכפלה סקלרית, משוואת מישור, מרחק נקודה ממישור, זווית בין מישורים ונפח

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דוקטורים · מצגת הסבר

וקטורים

מצגת הסבר – וקטורים בגוף, שיעורים, מישורים, מרחקים וזוויות

מתמטיקה 5 יח״לשאלון 35572תכנית חדשה

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355721 / 13

בס״דוקטורים · מצגת הסבר

מה נלמד?

שאלה 2 בשאלון בנויה בדרך כלל משני חלקים:

בלי שיעורים: מביעים וקטורים בעזרת $\underline{u}, \underline{v}, \underline{w}$ , מכפלה סקלרית, אורך וניצבות
עם שיעורים: נקודות, וקטור נורמל ומשוואת מישור
ישר במרחב: $\underline{x} = A + t \cdot \underline{u}$
מרחק נקודה ממישור, זווית בין ישר למישור או בין מישורים
נפח פירמידה בעזרת גובה = מרחק ממישור

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355722 / 13

בס״דוקטורים · מצגת הסבר

הרעיונות החשובים

הולכים במסלול

$S D = S A + A D = - \underline{w} + \underline{u}$

ונקודה על קטע: $A E = A S + \frac{3}{4} S D$

וקטור בין שתי נקודות: $E N = A N - A E$

ניצבות

$\underline{a} ⊥ \underline{b}$ ← המכפלה הסקלרית שלהם היא 0.

מקצועות ניצבים בגוף ← $\underline{u} \cdot \underline{v}$ , ‏ $\underline{u} \cdot \underline{w}$ , ‏ $\underline{v} \cdot \underline{w}$ מתאפסים.

אורך = שורש של מכפלה עצמית

∣ \underline{a} ∣^{2} = \underline{a} \cdot \underline{a}

פותחים סוגריים כמו בכפל רגיל, ומציבים את הנתונים.

וקטור נורמל

מאונך לכל וקטור במישור. ‏ $\underline{n} = (a, b, c)$ ← המישור $a x + b y + cz + d = 0$ .

לזכור (לא בנוסחאון)

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355723 / 13

בס״דוקטורים · מצגת הסבר

הנוסחאות מהנוסחאון

נוסחאון · וקטורים

אורך של $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ :

∣ \underline{u} ∣ = \underline{u} \cdot \underline{u} = u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2}

מכפלה סקלרית:

\underline{u} \cdot \underline{v} = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3}

\underline{u} \cdot \underline{v} = ∣ \underline{u} ∣ \cdot ∣ \underline{v} ∣ \cdot cos α

‏( $α$ – הזווית בין הווקטורים)

נוסחאון · מישורים

מרחק $P (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ מהמישור $a x + b y + cz + d = 0$ :

d = \frac{∣ a x _{1} + b y _{1} + c z _{1} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

זווית $β$ בין הישר $\underline{x} = \underline{v} + t \cdot \underline{u}$ למישור עם נורמל $\underline{n}$ :

sin β = \frac{∣ n \cdot u ∣}{∣ n ∣ \cdot ∣ u ∣}

זווית $α$ בין שני מישורים:

cos α = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∣ n _{1} ∣ \cdot ∣ n _{2} ∣}

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355724 / 13

בס״דוקטורים · מצגת הסבר

שיטת הפתרון – וקטורים בלי שיעורים

מסמנים $\underline{u}, \underline{v}, \underline{w}$ על הסרטוט (מקודקוד אחד).
מביעים כל וקטור במסלול דרך מקצועות ידועים.
אורך: $∣ \underline{a} ∣^{2} = \underline{a} \cdot \underline{a}$ – פותחים סוגריים.
מציבים את הנתונים: מקצועות ניצבים ← מכפלה 0; ‏ $\underline{u} \cdot \underline{u} = ∣ \underline{u} ∣^{2}$ .
משווים לנתון ופותרים את המשוואה (בדרך כלל ריבועית בפרמטר).

דוגמה

$∣ \underline{u} ∣ = ∣ \underline{v} ∣ = a$ , ‏ $\underline{u} ⊥ \underline{v}$ :

∣2 \underline{u} - \underline{v} ∣^{2} = 4 \underline{u} \cdot \underline{u} - 4 \underline{u} \cdot \underline{v} + \underline{v} \cdot \underline{v}

= 4 a^{2} - 0 + a^{2} = 5 a^{2}

∣2 \underline{u} - \underline{v} ∣ = 5 a

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355725 / 13

בס״דוקטורים · מצגת הסבר

שיטת הפתרון – משוואת מישור

מוצאים שני וקטורים במישור (סוף פחות התחלה).
$\underline{n} = (n_{1}, n_{2}, n_{3})$ מאונך לשניהם ← שתי משוואות (מכפלה סקלרית 0).
משלוש נעלמות ושתי משוואות – בוחרים ערך לאחת מהן ומוצאים את השתיים האחרות.
כותבים $n_{1} x + n_{2} y + n_{3} z + d = 0$ ומציבים נקודה מהמישור כדי למצוא את $d$ .
בודקים בנקודות האחרות.

למה זה עובד?

אם $\underline{n}$ מאונך לשני וקטורים לא מקבילים במישור, הוא מאונך למישור כולו.

אפשר לצמצם וקטור כיוון: $(6, 6, 3)$ ← $(2, 2, 1)$ – אותו כיוון, חשבון קל יותר.

בגרות קיץ תשפ״ב (2022) – מועד א׳ · שאלה 2

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355726 / 13

בס״דוקטורים · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – הבעת וקטור (א)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 2

בפירמידה $S A B C D$ הבסיס ריבוע, ‏ $A S$ גובה ו־ $A S = A B$ . ‏ $A D = \underline{u}$ , ‏ $A B = \underline{v}$ , ‏ $A S = \underline{w}$ . ‏ $E$ על $S D$ כך ש־ $S E = \frac{3}{4} S D$ , ‏ $N$ על $S C$ כך ש־ $S N = k \cdot S C$ . ‏א. הביעו את $E N$ .

A E = \underline{w} + \frac{3}{4} (\underline{u} - \underline{w}) = \frac{3}{4} \underline{u} + \frac{1}{4} \underline{w}

$S C = \underline{u} + \underline{v} - \underline{w}$ ‏( $A C = \underline{u} + \underline{v}$ בריבוע):

A N = \underline{w} + k (\underline{u} + \underline{v} - \underline{w})

$E N = A N - A E$ :

$E N = (k - \frac{3}{4}) \underline{u} + k \underline{v} + (\frac{3}{4} - k) \underline{w}$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355727 / 13

בס״דוקטורים · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – אורך ופרמטר (ב)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 2

ב. נתון: $∣ E N ∣ = \frac{6}{4} ∣ \underline{w} ∣$ . מצאו את $k$ .

$∣ \underline{u} ∣ = ∣ \underline{v} ∣ = ∣ \underline{w} ∣ = a$ , ושלושת הווקטורים ניצבים זה לזה ← כל המכפלות המעורבות הן 0, ונשארים רק הריבועים:

∣ E N ∣^{2} = a^{2} [(k - \frac{3}{4})^{2} + k^{2} + (\frac{3}{4} - k)^{2}]

מהנתון $∣ E N ∣^{2} = \frac{6}{16} a^{2}$ . מחלקים ב־ $a^{2}$ :

2 (k - \frac{3}{4})^{2} + k^{2} = \frac{3}{8}

3 k^{2} - 3 k + \frac{3}{4} = 0

k^{2} - k + \frac{1}{4} = 0

(k - \frac{1}{2})^{2} = 0

$k = \frac{1}{2}$

‏ $N$ היא אמצע $S C$ .

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355728 / 13

בס״דוקטורים · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – משוואת המישור (ג)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 2

ג. $A (0, 0, 0)$ , ‏ $B (0, 12, 0)$ , ‏ $D (12, 0, 0)$ , ‏ $S (0, 0, 12)$ . מצאו את $E$ ואת $N$ , ואת משוואת המישור $E N B$ .

מסעיף א: $A E = \frac{3}{4} \underline{u} + \frac{1}{4} \underline{w}$ ← $E (9, 0, 3)$ . ‏ $N$ אמצע $S C$ , ‏ $C (12, 12, 0)$ ← $N (6, 6, 6)$ .

E N = (- 3, 6, 3), E B = (- 9, 12, - 3)

הנורמל מאונך לשניהם:

- 3 n_{1} + 6 n_{2} + 3 n_{3} = 0

- 9 n_{1} + 12 n_{2} - 3 n_{3} = 0

מחברים: $- 12 n_{1} + 18 n_{2} = 0$ ← בוחרים $n_{1} = 3$ , ‏ $n_{2} = 2$ , ואז $n_{3} = - 1$ .

3 x + 2 y - z + d = 0

מציבים $B (0, 12, 0)$ : ‏ $24 + d = 0$ ← $d = - 24$ .

$3 x + 2 y - z - 24 = 0$

בדיקה: $E$ : ‏ $27 + 0 - 3 - 24$ – יוצא 0 ✓
$N$ : ‏ $18 + 12 - 6 - 24$ – יוצא 0 ✓

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355729 / 13

בס״דוקטורים · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – השוואת נפחים (ד)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 2

ד. האם הנפח של הפירמידה $S E N B$ שווה לנפח של הפירמידה $C E N B$ ? נמקו.

לשתיהן אותו בסיס – המשולש $E N B$ . לכן משווים את הגבהים – המרחקים של $S$ ושל $C$ מהמישור $3 x + 2 y - z - 24 = 0$ :

d_{S} = \frac{∣0 + 0 - 12 - 24∣}{9 + 4 + 1} = \frac{36}{14}

d_{C} = \frac{∣36 + 24 - 0 - 24∣}{14} = \frac{36}{14}

הגבהים שווים ← הנפחים שווים.

וזה צפוי: המישור עובר דרך $N$ – אמצע $S C$ .

נוסחאון: נפח פירמידה $V = \frac{S \cdot h}{3}$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557210 / 13

בס״דוקטורים · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – מישור, מרחק וזווית

בגרות קיץ תשפ״ב (2022) – מועד א׳ · שאלה 2

$A (4, p, - 1)$ , ‏ $B (7, 5, 5)$ , ‏ $C (1, - 1, 2)$ , ‏ $D (- 2, 5, - 4)$ באותו מישור. ‏א. מצאו את המישור $A B C D$ .

$C B = (6, 6, 3)$ ← $(2, 2, 1)$ ; ‏ $C D = (- 3, 6, - 6)$ ← $(- 1, 2, - 2)$

2 a + 2 b + c = 0, - a + 2 b - 2 c = 0

בוחרים $a = 2$ ← $b = - 1$ , ‏ $c = - 2$ . מציבים $C$ :

$2 x - y - 2 z + 1 = 0$

ד. ‏ $A B C D$ ריבוע בצלע 9 (סעיף ג), נפח $S A B C D$ הוא 81 ← $81 = \frac{81 \cdot h}{3}$ , ‏ $h = 3$ . ‏ $S C$ על הישר $\underline{x} = (0, - 4, 1) + t (1, 3, 1)$ :

\frac{∣2 t - ( - 4 + 3 t ) - 2 ( 1 + t ) + 1∣}{4 + 1 + 4} = 3 \Rightarrow ∣1 - t ∣ = 3

$S (- 2, - 10, - 1)$ או $S (4, 8, 5)$

ה. המישור $π$ מאונך ל־ $S C$ ← הנורמל שלו הוא וקטור הכיוון $(1, 3, 1)$ . זווית בין המישורים:

cos α = \frac{∣2 \cdot 1 - 1 \cdot 3 - 2 \cdot 1∣}{9 \cdot 11} = \frac{1}{11}

$α \approx 72.4 5^{\circ}$

הערך המוחלט ← זווית חדה תמיד.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557211 / 13

בס״דוקטורים · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

וקטור בין נקודות: סוף פחות התחלה.
בפתיחת $∣ \underline{a} ∣^{2}$ לא מוותרים על המכפלות המעורבות – מאפסים רק כשהווקטורים ניצבים.
$\underline{u} \cdot \underline{u} = ∣ \underline{u} ∣^{2}$ – לא $∣ \underline{u} ∣$ .

אחרי מציאת המישור – בודקים שכל הנקודות מקיימות אותו.
זווית בין ישר למישור – $sin$ ; בין מישורים – $cos$ .
במרחק עם ערך מוחלט – לרוב שתי תשובות.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557212 / 13

בס״דוקטורים · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

חשבו את $∣ \underline{a} ∣$ עבור $\underline{a} = (2, - 1, 2)$ .
האם $(1, 2, 3)$ ו־ $(3, 0, - 1)$ ניצבים?
מצאו את המרחק של $P (1, 1, 1)$ מהמישור $2 x + y - 2 z + 8 = 0$ .
מצאו את המישור דרך $(1, 0, 2)$ שהנורמל שלו $(3, - 1, 1)$ .

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$4 + 1 + 4 = 3$
$3 + 0 - 3$ – המכפלה היא 0 ← כן
$\frac{∣2 + 1 - 2 + 8∣}{4 + 1 + 4} = \frac{9}{3} = 3$
$3 x - y + z + d = 0$ . מציבים את הנקודה: $3 + 2 + d$ שווה 0, לכן $d = - 5$ :
$3x - y + z - 5 = 0$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557213 / 13

› לכל המצגות