בגרות חורף נבצרים תשפ״ב (2022)

$x>0$ (בגלל $\ln x$), והמכנה שונה מאפס: $\ln x\ne a$, כלומר $x\ne e^a$.

תשובה: $x>0,x\ne e^a$

$f^{\prime }(x)=0$ כאשר $\ln x=a+1$, כלומר $x=e^{a+1}$. משמאל לנקודה הנגזרת שלילית ($a>0$) ומימין חיובית:

תשובה: מינימום $\left(e^{a+1},a{e}^{a+1}\right)$

כאשר $x\to 0^{+}$: $f(x)\to 0^{-}$. אסימפטוטה אנכית $x=e^a$. בתחום $0<x<e^a$ הפונקציה שלילית ויורדת.

תשובה: ראו סקיצה.

$g$ מוגדרת רק היכן ש־$f$ מוגדרת ($f$ לא מתאפסת בתחום שלה, כי $x>0$):

תשובה: $x>0,x\ne e^a$

$g^{\prime }(x)=0$ ב־$x=e^{a+1}$; משמאל חיובית ומימין שלילית:

תשובה: מקסימום $\left(e^{a+1},\frac{1}{a{e}^{a+1}}\right)$

בנקודה $(e^a,0)$ יש „חור“ בגרף, כי $g$ לא מוגדרת שם.

תשובה: ראו סקיצה.

בתחום $e^{a+1}\le x\le e^{a+2}$ מתקיים $1\le \ln x-a\le 2$, ולכן $g(x)>0$.

תשובה: $a=\frac{1}{2}$

הפונקציה מוגדרת לכל $x$.

תשובה: כל $x$

נסמן $t=3^{-x}>0$, אז $f=t^2-6t+m$.

כאשר $x\to \infty$: $t\to 0$, ולכן $f\to m$. כאשר $x\to -\infty$: $t\to \infty$, ו־$f\to \infty$.

תשובה: $y=m$ (כאשר $x\to \infty$)

$f^{\prime }(x)=0$ כאשר $3^{-x}=3$, כלומר $x=-1$.

עבור $x<-1$: $3^{-x}>3$ ולכן $f^{\prime }<0$. עבור $x>-1$: $f^{\prime }>0$.

תשובה: מינימום $(-1,m-9)$

הגרף משיק לציר ה־$x$ בנקודת המינימום, ולכן $m-9=0$.

תשובה: $m=9$

מינימום $(-1,0)$, חיתוך עם ציר ה־$y$: $f(0)=4$, אסימפטוטה $y=9$ כאשר $x\to \infty$.

תשובה: ראו סקיצה.

$\ln f(x)$ מוגדרת כאשר $f(x)>0$, כלומר $x\ne -1$. כאשר $x\to -1$: $f\to 0^{+}$ ו־$\ln f\to -\infty$ – אסימפטוטה אנכית $x=-1$.

כאשר $x\to \infty$: $\ln f\to \ln 9$. העלייה והירידה כמו של $f$ (כי $\ln$ עולה).

חיתוך עם ציר ה־$y$: $(0,\ln 4)$.

חיתוך עם ציר ה־$x$: $f(x)=1$, כלומר $3^{-x}=2$ או $3^{-x}=4$:

תשובה: ראו סקיצה.

בתחום $0<x\le 1$ הפונקציה $f$ עולה ונשארת מתחת לאסימפטוטה $y=9$:

אורך תחום האינטגרציה הוא $1$, ולכן האינטגרל (השטח בין $y=\ln f(x)$ ל־$y=\ln 4$) קטן משטח מלבן שגובהו $\ln \frac{9}{4}$ ורוחבו $1$:

(בחישוב מספרי האינטגרל $\approx 0.352$, ו־$\ln \frac{9}{4}\approx 0.811$.)

תשובה: כי $\ln f(x)-\ln 4<\ln \frac{9}{4}$ לכל $x$ בתחום שאורכו $1$.