בגרות קיץ תשפ״ג (2023) – מועד א׳

כאשר $x\to \infty$ הפונקציה שואפת לאינסוף. כאשר $x\to -\infty$ מתקיים $e^x\to 0$ ולכן:

עבור $n$ זוגי: $(-1{)}^n=1$:

עבור $n$ אי־זוגי: $(-1{)}^n=-1$:

תשובה: $n$ זוגי: $y=-3$
$n$ אי־זוגי: $y=-5$

הנגזרת מתאפסת רק כאשר $e^x=1$ כלומר $x=0$, ושם $f(0)=-4$. הסימן של הנגזרת נקבע לפי ${\left(e^x-1\right)}^{n-1}$. הביטוי $e^x-1$ שלילי משמאל ל־0 וחיובי מימין.

עבור $n$ זוגי: החזקה $n-1$ אי־זוגית. הנגזרת שלילית משמאל ל־0 וחיובית מימין. לכן $(0,-4)$ מינימום.

עבור $n$ אי־זוגי: החזקה $n-1$ זוגית. הנגזרת אינה שלילית בשני הצדדים ואין החלפת סימן. לכן אין נקודת קיצון. בנקודה $(0,-4)$ יש משיק אופקי.

תשובה: $n$ זוגי: מינימום $(0,-4)$
$n$ אי־זוגי: אין קיצון

עבור $n$ זוגי: הגרף מתחיל קרוב ל־$y=-3$, יורד עד המינימום $(0,-4)$ ועולה לאינסוף. הוא חותך את ציר ה־$x$ כאשר $e^x-1=\sqrt[n]{4}$. למשל עבור $n=2$ זו הנקודה $(\ln 3,0)$.

עבור $n$ אי־זוגי: הגרף מתחיל קרוב ל־$y=-5$ ועולה כל הזמן. בנקודה $(0,-4)$ יש משיק אופקי.

תשובה: ראו סקיצות

עם $n=2$:

נשווה ל־$g(x)$ ונסמן $t=e^x$:

כלומר $t=1$ או $t=4$.

עבור $t=1$ מתקבל $x=0$ ו־$y=3-7=-4$.

עבור $t=4$ מתקבל $x=\ln 4$ ו־$y=12-7=5$.

תשובה: $(0,-4)$
$(\ln 4,5)$

בין נקודות החיתוך $1<t<4$ ולכן $t^2-5t+4<0$. כלומר $g$ מעל $f$:

תשובה: $7.5-4\ln 4\approx 1.95$

הפונקציה $f$ שלילית כאשר $x<\ln 3$ וחיובית כאשר $x>\ln 3$. הפונקציה $h=|f|$ מקפלת את החלק השלילי מעל ציר ה־$x$:

• המינימום של $f$ בנקודה $(0,-4)$ הופך למקסימום $(0,4)$.
• בנקודת האפס $x=\ln 3$ הגרף נוגע בציר ה־$x$ ויוצר "שפיץ". זו נקודת מינימום $(\ln 3,0)$.
• האסימפטוטה $y=-3$ הופכת ל־$y=3$.

תשובה: שתי נקודות קיצון:
מקסימום $(0,4)$
מינימום $(\ln 3,0)$

נעקוב אחרי הגרף של $h$:

• משמאל ל־0 הוא עולה מהאסימפטוטה $y=3$ עד 4.
• בין 0 ל־$\ln 3$ הוא יורד מ־4 עד 0.
• מימין ל־$\ln 3$ הוא עולה מ־0 לאינסוף.

ישר אופקי פוגש כל אחד משלושת החלקים רק כאשר הוא מעל האסימפטוטה ומתחת למקסימום:

תשובה: $3<k<4$

הלוגריתם מוגדר עבור $x>0$ והמכנה שונה מ־0:

תשובה: $x>0$

הנגזרת מתאפסת בנקודה $x=1$. משמאל לה הנגזרת שלילית ומימין חיובית:

תשובה: מינימום: $(1,1)$

• כאשר $x\to 0^{+}$ האיבר $\frac{1}{x}$ שולט והפונקציה שואפת לאינסוף. לכן $x=0$ אסימפטוטה אנכית.
• הפונקציה יורדת עד המינימום $(1,1)$ ואחר כך עולה לאט לאינסוף.
• המינימום הוא 1 ולכן הפונקציה חיובית בכל התחום.

תשובה: ראו סקיצה

הגורם $x+1$ חיובי בתחום. לכן:

תשובה: $(e,0)$

לפי כלל המכפלה:

מסעיף א הפונקציה $f$ חיובית תמיד. לכן $g^{\prime }(x)<0$ בכל התחום.

תשובה: יורדת: $x>0$
אין תחום עלייה

• כאשר $0<x<1$ הנגזרת השנייה חיובית ולכן $g$ קעורה כלפי מעלה.
• כאשר $x>1$ הנגזרת השנייה שלילית ולכן $g$ קעורה כלפי מטה.

תשובה: קעורה כלפי מעלה: $0<x<1$
קעורה כלפי מטה: $x>1$

• כאשר $x\to 0^{+}$ הגורם $1-\ln x$ שואף לאינסוף ולכן $g$ שואפת לאינסוף.
• הפונקציה יורדת כל הזמן. בנקודה $(1,2)$ יש נקודת פיתול.
• היא חותכת את ציר ה־$x$ בנקודה $(e,0)$ ויורדת למינוס אינסוף.

תשובה: ראו סקיצה

מסעיף ב (2):

בקטע בין 1 ל־$e$ הפונקציה $h$ שלילית ולכן השטח הוא מינוס האינטגרל:

פונקציה קדומה של $\frac{\ln x}{x}$ היא $\frac{(\ln x{)}^2}{2}$:

תשובה: $\frac{3}{2}-\frac{1}{e}\approx 1.13$