בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד א׳

תחום ההגדרה: $x>0$. נשווה ל־0:

$x^n>0$ בתחום, ולכן:

תשובה: $(e^3,0)$

נגזור לפי כלל המכפלה:

נציב $x=1$ ‏(‏$\ln 1=0$‏)‏ ונשווה לשיפוע 2:

תשובה: $n=1$

נציב $n=1$ ונקבל $f(x)=x(3-\ln x)$. לפי סעיף ב:

בדיקה: $f^{\prime }(1)=2>0$ ו־$f^{\prime }(e^3)=-1<0$.

תשובה: מקסימום: $(e^2,e^2)$

נאסוף את הנתונים:

• תחום ההגדרה $x>0$.
• כאשר $x\to 0^{+}$ מתקיים $f(x)\to 0$ ‏(‏כי $x\ln x\to 0$‏)‏, אבל הנקודה $(0,0)$ אינה שייכת לגרף.
• עולה עד המקסימום $(e^2,e^2)$ ויורדת אחריו.
• חותכת את ציר ה־$x$ בנקודה $(e^3,0)$.
• כאשר $x\to \infty$ מתקיים $f(x)\to -\infty$.

תשובה: מקסימום: $(e^2,e^2)$
חיתוך עם ציר ה־$x$: $(e^3,0)$
מתחילה ליד הראשית (שאינה על הגרף) ויורדת ל־$-\infty$

$g(x)=\frac{1}{f(x)}$ מוגדרת כאשר $f$ מוגדרת ושונה מ־0. $f$ מוגדרת ל־$x>0$ ומתאפסת רק ב־$x=e^3$ ‏(‏סעיף א‏)‏.

תשובה: $x>0,x\ne e^3$

אנכיות: כאשר $x\to e^3$ מתקיים $f(x)\to 0$, ולכן $|g(x)|\to \infty$. אסימפטוטה:

כאשר $x\to 0^{+}$ מתקיים $f(x)\to 0^{+}$, ולכן $g(x)\to +\infty$. אסימפטוטה:

אופקית: כאשר $x\to \infty$ מתקיים $f(x)\to -\infty$, ולכן $g(x)\to 0^{-}$. אסימפטוטה ‏(‏מימין‏)‏:

תשובה: אנכיות: $x=0,x=e^3$
אופקית (מימין): $y=0$

$g^{\prime }(x)=-\frac{f^{\prime }(x)}{f^2(x)}$, ולכן ל־$g$ סימן נגזרת הפוך לזה של $f$:

• בקטע $0<x<e^2$ הפונקצייה $f$ עולה, ולכן $g$ יורדת.
• עבור $x>e^2$ ‏(‏פרט ל־$e^3$‏)‏ הפונקצייה $f$ יורדת, ולכן $g$ עולה.

במקסימום של $f$ יש ל־$g$ מינימום: $g(e^2)=\frac{1}{e^2}$. בקטע $0<x<e^3$ מתקיים $f>0$, ולכן גם $g>0$. עבור $x>e^3$ מתקיים $g<0$, והיא עולה מ־$-\infty$ אל 0.

תשובה: בקטע $0<x<e^3$: חיובית, מינימום $(e^2,\frac{1}{e^2})$
עבור $x>e^3$: שלילית ועולה אל $y=0$

נתון $1<a<3$, ולכן $e<e^a<e^3$. הקטע כולו בתוך $0<x<e^3$, ושם $g>0$. השטח:

נשים לב שהנגזרת של $3-\ln x$ היא $-\frac{1}{x}$, ולכן:

תשובה: $a=2.8$

הביטוי $\ln (4-e^x)$ מוגדר כאשר:

שאר האיברים מוגדרים לכל $x$.

תשובה: $x<\ln 4$

אנכית: כאשר $x\to \ln 4^{-}$ מתקיים $4-e^x\to 0^{+}$. לכן $\ln (4-e^x)\to -\infty$, וגם $f(x)\to -\infty$. אסימפטוטה:

אופקית: אפשר לבדוק רק $x\to -\infty$ ‏(‏התחום חסום מימין‏)‏. כאשר $x\to -\infty$:

והאיבר $-x$ שואף ל־$+\infty$. לכן $f(x)\to +\infty$, ואין אסימפטוטה אופקית.

תשובה: אנכית: $x=\ln 4$
אין אסימפטוטה אופקית

נגזור ‏(‏הנגזרת של $\ln (4-e^x)$ היא $\frac{-e^x}{4-e^x}$‏)‏:

מכנה משותף:

תשובה: הוכח: $f^{\prime }(x)=\frac{-4(e^x-1{)}^2}{4-e^x}$

בתחום $x<\ln 4$ המכנה $4-e^x$ חיובי, והמונה $-4(e^x-1{)}^2$ אינו חיובי. לכן $f^{\prime }(x)\le 0$ לכל $x$ בתחום. הנגזרת מתאפסת רק כאשר $e^x=1$, כלומר ב־$x=0$.

הנגזרת לא מחליפה סימן ב־$x=0$, ולכן אין שם קיצון: הפונקצייה יורדת בכל תחום הגדרתה.

תשובה: יורדת בכל תחום ההגדרה $x<\ln 4$
אין תחום עלייה

משיק מקביל לציר ה־$x$ – שיפועו 0, כלומר $f^{\prime }(x)=0$, ולפי ג (1) זה קורה רק ב־$x=0$:

תשובה: $y=4+9\ln 3\approx 13.89$

נאסוף את הנתונים:

• יורדת בכל התחום $x<\ln 4$.
• כאשר $x\to -\infty$ מתקיים $f\to +\infty$.
• כאשר $x\to \ln 4^{-}$ מתקיים $f\to -\infty$ ‏(‏אסימפטוטה $x=\ln 4$‏)‏.
• בנקודה $(0,4+9\ln 3)$ המשיק אופקי ‏(‏נקודת פיתול‏)‏.
• הגרף חותך את ציר ה־$x$ פעם אחת, קרוב ל־$\ln 4$ ‏(‏אין צורך במיקום המדויק – המשוואה אינה נפתרת אלגברית‏)‏.

תשובה: יורדת בכל התחום
משיק אופקי ב־$(0,4+9\ln 3)$
אסימפטוטה: $x=\ln 4$

הנגזרת $f^{\prime }(x)=\frac{-4(e^x-1{)}^2}{4-e^x}$ מוגדרת באותו תחום, $x<\ln 4$.

אנכית: כאשר $x\to \ln 4^{-}$ המכנה שואף ל־$0^{+}$ והמונה שואף ל־$-4\cdot 3^2=-36$. לכן $f^{\prime }(x)\to -\infty$, ויש אסימפטוטה:

אופקית: כאשר $x\to -\infty$ מתקיים $e^x\to 0$, ולכן:

אסימפטוטה ‏(‏משמאל‏)‏:

תשובה: אנכית: $x=\ln 4$
אופקית (משמאל): $y=-1$

לפי ג (1), $f^{\prime }(x)\le 0$ ומתאפסת רק ב־$x=0$. לכן לגרף של $f^{\prime }$ יש מקסימום בנקודה $(0,0)$, והוא משיק שם לציר ה־$x$.

הנקודה $x=0$ היא נקודת הפיתול היחידה של $f$, ולכן זו נקודת הקיצון היחידה של $f^{\prime }$. משמאל ל־0 הנגזרת $f^{\prime }$ עולה מ־$-1$ אל 0, ובין 0 ל־$\ln 4$ היא יורדת מ־0 אל $-\infty$.

תשובה: מקסימום: $(0,0)$
אסימפטוטה משמאל: $y=-1$
אסימפטוטה אנכית: $x=\ln 4$

$g(x)=f(x)+ax$, ולכן:

נקודת קיצון של $g$ היא נקודה שבה $g^{\prime }$ מתאפסת ומחליפה סימן, כלומר נקודה שבה הגרף של $f^{\prime }$ חותך את הישר $y=-a$.

לפי הסקיצה של $f^{\prime }$ ‏(‏ה (2)‏):

• אם $-1<-a<0$, הישר $y=-a$ חותך את גרף $f^{\prime }$ פעמיים: פעם משמאל ל־0 ‏(‏שם $f^{\prime }$ עולה מ־$-1$ ל־0‏)‏ ופעם מימין ל־0. בכל חיתוך $g^{\prime }$ מחליפה סימן, ולכן יש שתי נקודות קיצון.
• אם $-a\le -1$, יש חיתוך אחד בלבד ‏(‏מימין ל־0‏)‏, ולכן נקודת קיצון אחת.
• אם $-a=0$, הישר משיק לגרף בנקודה $(0,0)$ בלי החלפת סימן, ולכן אין קיצון. אם $-a>0$, אין חיתוך כלל.

לכן שתי נקודות קיצון בדיוק כאשר:

תשובה: $0<a<1$