בגרות חורף תשפ״ב (2022)

$e^x$ ו־$e^{2x}$ מוגדרות לכל $x$, ולכן:

תשובה: כל $x$

כאשר $x\to -\infty$: $e^x\to 0$ ו־$e^{2x}\to 0$, ולכן $f(x)\to \frac{m}{4}$. כאשר $x\to \infty$ הפונקציה שואפת ל־$\infty$.

תשובה: $m=-4$

חיתוך עם ציר ה־$x$: $e^x+1>0$, ולכן $e^x=4$, כלומר $x=\ln 4$.

חיתוך עם ציר ה־$y$:

תשובה: $(\ln 4,0)$, $(0,-1.5)$

$f^{\prime }(x)=0$ כאשר $e^x=1.5$, כלומר $x=\ln 1.5$. משמאל הנגזרת שלילית ומימין חיובית:

תשובה: מינימום $\left(\ln 1.5,-\frac{25}{16}\right)\approx (0.405,-1.5625)$

תשובה: ראו סקיצה.

המכנה $f(x)$ חייב להיות שונה מאפס, ולכן $x\ne \ln 4$.

תשובה: $x\ne \ln 4$

אנכית: ב־$x=\ln 4$ המכנה מתאפס.

כאשר $x\to -\infty$: $f\to -1$, ולכן $g\to -1+1=0$.

כאשר $x\to \infty$: $f\to \infty$, ולכן $g\to 0+1=1$.

תשובה: $x=\ln 4$; $y=0$ (כאשר $x\to -\infty$); $y=1$ (כאשר $x\to \infty$)

נקודות עזר: $g(0)=1-\frac{1}{1.5}=\frac{1}{3}$.

$g^{\prime }(x)=-\frac{f^{\prime }(x)}{f^2(x)}$, ולכן ל־$g$ יש קיצון באותה נקודה כמו ל־$f$, מסוג הפוך – מקסימום:

$g(x)=0$ כאשר $f(x)=-1$:

תשובה: ראו סקיצה.

נסמן $G(t)={\int }_0^{t}g(x)dx$. אז $G^{\prime }(t)=g(t)$.

בתחום $0<t<\ln 4$: $g(t)>0$ עבור $t<\ln 3$ ו־$g(t)<0$ עבור $\ln 3<t<\ln 4$ (ראו סקיצה).

לכן $G$ עולה עד $t=\ln 3$ ויורדת אחריו – הערך המקסימלי מתקבל ב־$t=\ln 3$.

תשובה: $t=\ln 3$

$x>0$ (בגלל $\ln x$), והמכנה שונה מאפס: ${\ln }^{2}x\ne 1$, כלומר $\ln x\ne \pm 1$.

תשובה: $x>0,x\ne e,x\ne \frac{1}{e}$

ב־$x=e$ וב־$x=\frac{1}{e}$ המכנה מתאפס והמונה לא – אסימפטוטות אנכיות.

כאשר $x\to \infty$: $\ln x\to \infty$, ולכן:

(כאשר $x\to 0^{+}$ גם $f(x)\to 1$, אבל זו נקודת קצה של התחום, לא אסימפטוטה.)

תשובה: $x=e$, $x=\frac{1}{e}$, $y=1$

המכנה חיובי, ולכן סימן $f^{\prime }$ הפוך לסימן $\ln x$: עבור $0<x<1$ הנגזרת חיובית, ועבור $x>1$ שלילית.

תשובה: עולה: $0<x<\frac{1}{e}$, $\frac{1}{e}<x<1$
יורדת: $1<x<e$, $x>e$

נקודות מרכזיות: מקסימום $(1,0)$ (כי $f(1)=0$), ומשמאל ל־$x=\frac{1}{e}$ הפונקציה עולה מ־$1$ (כאשר $x\to 0^{+}$, מעל $y=1$) עד $\infty$.

לכן הענף השמאלי מתחיל ב„נקודה ריקה“ על הישר $y=1$ ועולה – כך רק בגרף ג.

תשובה: גרף ג

אין פתרון ($y=1$ היא אסימפטוטה שהגרף לא חותך).

תשובה: אין פתרון

מהגרף: עבור $k>1$ יש שני פתרונות (ענף שמאלי וענף ימני); עבור $k<0$ יש שני פתרונות (משני צדי $x=1$); עבור $0<k\le 1$ אין פתרון.

רק עבור $k=0$ יש פתרון יחיד: $x=1$.

תשובה: $k=0$

$g$ מוגדרת רק היכן ש־$f$ מוגדרת, ולכן בגרף שלה יש „חורים“ ב־$x=\frac{1}{e}$ וב־$x=e$, על ציר ה־$x$ (שם ${\ln }^{2}x-1=0$):

$h(x)={\ln }^{2}x+1$, ולכן $h\left(\frac{1}{e}\right)=h(e)=2$: $C(e,2)$, $D\left(\frac{1}{e},2\right)$.

תשובה: $S=2\left(e-\frac{1}{e}\right)\approx 4.70$