בגרות חורף תשפ״ו (2026)

$f(x)$ יורדת בכל אחד מהתחומים $x>0$ ו־$x<0$, ולכן $f^{\prime }(x)\le 0$ שם. נתון $f^{\prime }(x)\ne 0$, ולכן:

לכל $x\ne 0$. בנוסף $e^{f(x)}>0$ תמיד. מכפלה של מספר שלילי במספר חיובי היא שלילית:

תשובה: $g(x)$ שלילית בכל תחום הגדרתה ($x<0$ ו־$x>0$); אין לה תחום חיוביות.

עם $f(x)=\frac{1}{x}$: $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$, ולכן:

ליד $x=0$:

• $x\to 0^{+}$: $\frac{1}{x}\to \infty$, והמכפלה $\frac{1}{x^2}{e}^{\frac{1}{x}}\to \infty$, ולכן $g(x)\to -\infty$.
• $x\to 0^{-}$: נסמן $u=\frac{1}{x}\to -\infty$. אז $g=-u^2{e}^u\to 0$ ‏(‏האקספוננט שואף לאפס מהר יותר‏)‏.

לכן $x=0$ אסימפטוטה אנכית מימין בלבד.

כאשר $x\to \pm \infty$: $e^{\frac{1}{x}}\to 1$ ו־$\frac{1}{x^2}\to 0$, ולכן $g(x)\to 0$: אסימפטוטה אופקית $y=0$.

תשובה: $x=0$ ‏(‏מימין‏)‏, $y=0$

נגזור לפי כלל המכפלה (${\left(e^{\frac{1}{x}}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}{e}^{\frac{1}{x}}$):

$\frac{e^{1/x}}{x^4}>0$, ולכן הסימן של $g^{\prime }$ הוא הסימן של $2x+1$. $g^{\prime }=0$ עבור $x=-\frac{1}{2}$:

תשובה: מינימום: $\left(-\frac{1}{2},-\frac{4}{e^2}\right)\approx (-0.5,-0.54)$

הגרף כולו מתחת לציר ה־$x$. משמאל: יורד מ־$0$ ‏(‏אסימפטוטה $y=0$‏)‏ עד המינימום $\left(-\frac{1}{2},-\frac{4}{e^2}\right)$, ואז עולה ושואף ל־$0$ כאשר $x\to 0^{-}$ ‏(‏הראשית אינה בגרף – עיגול ריק‏)‏. מימין: עולה מ־$-\infty$ ‏(‏ליד $x=0^{+}$‏)‏ ושואף ל־$0$ כאשר $x\to \infty$.

תשובה: סקיצה: כולה מתחת לציר ה־$x$; מינימום $\left(-\frac{1}{2},-\frac{4}{e^2}\right)$; אסימפטוטות $x=0$ ‏(‏מימין‏)‏ ו־$y=0$.

נתון $a>1$, ולכן:

ולכן:

בקטע הזה $g(x)<0$, ולכן השטח הוא מינוס האינטגרל.

$g=f^{\prime }\cdot e^f$, ולכן פונקציה קדומה של $g$ היא:

בגבולות: $\frac{1}{x}=\ln a$ או $\frac{1}{x}=\ln (4a)$, ולכן:

השטח הוא $3a$:

תשובה: $a=\frac{5}{3}$

$\ln x$ מוגדר עבור $x>0$. בנוסף אסור שמכנה יתאפס: $x\ne 0$ ו־$\ln x\ne 0$, כלומר $x\ne 1$.

תשובה: $x>0,x\ne 1$

נכתוב את הפונקצייה כסכום:

הנגזרת של המכנה $x{\ln }^{2}x$ היא ${\ln }^{2}x+2\ln x$, ולכן:

בנקודת קיצון $f^{\prime }=0$. נציב $x=\frac{1}{e}$, שבה $\ln x=-1$:

בדיקה שעבור $a=1$ זו נקודת הקיצון היחידה: נסמן $u=\ln x$. המונה של $f^{\prime }$ ‏(‏אחרי כינוס‏)‏ הוא:

$u\ne 0$, ו־$u^2-u+2>0$ תמיד ‏(‏דיסקרימיננטה שלילית‏)‏. לכן $f^{\prime }=0$ רק עבור $u=-1$, והסימן מתחלף שם.

תשובה: $a=1$

$g^{\prime }(x)=f(x)$ עם $a=1$:

נמצא פונקציה קדומה. למחובר הראשון: $\int \frac{1}{x}dx=\ln x$. למחובר השני נשתמש בנגזרת:

ולכן:

$g^{\prime \prime }=f^{\prime }$, ולפי סעיף ב $f^{\prime }$ מתאפסת ומחליפה סימן רק ב־$x=\frac{1}{e}$. לכן נקודת הפיתול של $g$ היא ב־$x=\frac{1}{e}$, והיא על ציר ה־$x$:

שימו לב: תחום ההגדרה מורכב משני קטעים ($0<x<1$ ו־$x>1$), ולכן להלכה אפשר לבחור קבוע אחר בקטע $x>1$. השאלה מבקשת פונקצייה אחת כזו – בוחרים את אותו קבוע, כמו במפתח.

תשובה: $g(x)=\ln x-\frac{1}{\ln x}$

• $x\to 0^{+}$: $\ln x\to -\infty$ ו־$\frac{1}{\ln x}\to 0$, ולכן $g(x)\to -\infty$ – אסימפטוטה $x=0$.
• $x\to 1$: $\ln x\to 0$, ולכן $\frac{1}{\ln x}\to \pm \infty$ – אסימפטוטה $x=1$.
• $x\to \infty$: $g(x)\to \infty$ – אין אסימפטוטה אופקית.

תשובה: $x=0,x=1$ ‏(‏אין אסימפטוטה אופקית‏)‏

נכפול ב־$\ln x\ne 0$:

תשובה: $\left(\frac{1}{e},0\right)$ ו־$(e,0)$

בתחום ההגדרה $x>0$, ושני הגורמים חיוביים, ולכן $g^{\prime }(x)>0$.

תשובה: עולה בתחומים $0<x<1$ ו־$x>1$; אין תחומי ירידה.

• $0<x<1$: עולה מ־$-\infty$ ‏(‏ליד $x=0$‏)‏ אל $+\infty$ ‏(‏ליד $x=1$‏)‏, וחותכת את ציר ה־$x$ ב־$\left(\frac{1}{e},0\right)$ – שם גם נקודת הפיתול.
• $x>1$: עולה מ־$-\infty$ ‏(‏ליד $x=1$‏)‏ אל $+\infty$, וחותכת את ציר ה־$x$ ב־$(e,0)$.

תשובה: סקיצה: שני ענפים עולים; אסימפטוטות $x=0,x=1$; חיתוכים $\left(\frac{1}{e},0\right)$ ו־$(e,0)$.

$h(x)=\ln |g(x)|$ מוגדרת כאשר $g$ מוגדרת ו־$g(x)\ne 0$:

תשובה: $x>0$, $x\ne \frac{1}{e},x\ne 1,x\ne e$

נבדוק את ההתנהגות של $h$:

• ליד $x=0^{+}$ וליד $x=1$: $|g|\to \infty$, ולכן $h\to +\infty$.
• ליד $x=\frac{1}{e}$ וליד $x=e$: $|g|\to 0$, ולכן $h\to -\infty$.
• כאשר $x\to \infty$: $g\to \infty$, ולכן $h\to \infty$; ובתחום $x>e$ הפונקצייה $g$ חיובית ועולה, ולכן גם $h$ עולה.

כלומר ל־$h$ יש ארבע אסימפטוטות אנכיות: $x=0,\frac{1}{e},1,e$. ליד ציר ה־$y$ הגרף עולה לפלוס אינסוף, ליד $x=\frac{1}{e}$ יורד למינוס אינסוף, ליד $x=1$ עולה לפלוס אינסוף, ליד $x=e$ יורד למינוס אינסוף, ומימין ל־$e$ הוא עולה.

• גרפים $III$ ו־$IV$ אף פעם לא יורדים למינוס אינסוף – לא מתאימים.
• בגרף $I$ הגרף יורד למינוס אינסוף ליד ציר ה־$y$, והענף הימני שלו יורד – לא מתאים.
• גרף $II$ מתאים לכל התכונות.

תשובה: גרף $II$