בגרות קיץ תשפ״ה (2025) – מועד א׳

המכנה אינו יכול להתאפס, כלומר צריך $e^x\ne a$.

• כאשר $a>0$, המשוואה $e^x=a$ מתקיימת ב־$x=\ln a$, ולכן התחום הוא $x\ne \ln a$.
• כאשר $a<0$ תמיד $e^x>a$, ולכן המכנה לא מתאפס והפונקצייה מוגדרת לכל $x$.

תשובה: כאשר $a>0$ התחום הוא $x\ne \ln a$; כאשר $a<0$ – כל $x$.

אסימפטוטות המאונכות לציר ה־$y$ הן אופקיות:

כאשר $x\to \infty$ נחלק מונה ומכנה ב־$e^x$:

כאשר $x\to -\infty$: $e^x\to 0$, ולכן:

זה נכון גם עבור $a>0$ וגם עבור $a<0$.

תשובה: $y=-1$ ‏(‏כאשר $x\to \infty$‏)‏ ו־$y=0$ ‏(‏כאשר $x\to -\infty$‏)‏, בשני המקרים.

לפי כלל המנה:

המכנה חיובי ו־$e^x>0$, ולכן סימן $f^{\prime }$ הוא סימן $a$:

• כאשר $a>0$, $f^{\prime }>0$: הפונקצייה עולה בתחומים $x<\ln a$ ו־$x>\ln a$.
• כאשר $a<0$, $f^{\prime }<0$: הפונקצייה יורדת לכל $x$.

תשובה: כאשר $a>0$ – עולה ב־$x<\ln a$ וב־$x>\ln a$; כאשר $a<0$ – יורדת לכל $x$.

עבור $a=3$: יש אסימפטוטה אנכית $x=\ln 3$, מימין לציר ה־$y$ ‏(‏כי $\ln 3>0$‏)‏. האסימפטוטות האופקיות: $y=0$ משמאל ו־$y=-1$ מימין. הפונקצייה עולה בכל ענף. משמאל לאסימפטוטה המכנה חיובי ולכן הפונקצייה חיובית, ומימין לה היא שלילית. זה גרף $II$.

עבור $a=-3$:

אין אסימפטוטה אנכית, הפונקצייה שלילית ויורדת לכל $x$, מ־$0$ ‏(‏משמאל‏)‏ אל $-1$ ‏(‏מימין‏)‏. זה גרף $III$.

תשובה: עבור $a=3$ – גרף $II$; עבור $a=-3$ – גרף $III$.

הפונקצייה $g$ מוגדרת כאשר $f$ מוגדרת, כלומר $x\ne \ln 3$, וגם המכנה $f(x)+2\ne 0$. נבדוק מתי הוא מתאפס:

כלומר $x\ne \ln 6$.

נוח לפשט:

תשובה: $x\ne \ln 3,x\ne \ln 6$

אנכית: בנקודה $x=\ln 6$ המכנה $6-e^x$ מתאפס, והמונה שם הוא $3-6=-3\ne 0$. לכן $x=\ln 6$ אסימפטוטה אנכית.

בנקודה $x=\ln 3$ אין אסימפטוטה: שם $g\to 0$, וזו נקודה חסרה.

אופקיות:

תשובה: אנכית: $x=\ln 6$. אופקיות: $y=1$ ‏(‏מימין‏)‏ ו־$y=\frac{1}{2}$ ‏(‏משמאל‏)‏.

נגזור:

לכן $g$ יורדת בכל ענף:

• $x<\ln 3$ ו־$\ln 3<x<\ln 6$: יורדת מ־$\frac{1}{2}$ אל $-\infty$, ועוברת ב־$(\ln 3,0)$ – נקודה שאינה בגרף ‏(‏עיגול ריק‏)‏, ולכן מחריגים אותה מתחום הירידה.
• $x>\ln 6$: יורדת מ־$+\infty$ אל $1$.

תשובה: סקיצה: יורדת בשני ענפים; אסימפטוטות $x=\ln 6,y=1,y=\frac{1}{2}$; נקודה חסרה $(\ln 3,0)$.

נשווה כל אינטגרל לשטח של מלבן.

הקטע השמאלי נמצא משמאל ל־$\ln 6$. שם $g$ יורדת מתחת ל־$\frac{1}{2}$ ונשארת חיובית, ולכן $0<g(x)<\frac{1}{2}$. אורך הקטע הוא $2$:

הקטע הימני נמצא מימין ל־$\ln 6\approx 1.79$. שם $g$ יורדת אל $1$, ולכן $g(x)>1$. אורך הקטע הוא $1$:

לכן האינטגרל השמאלי קטן מהימני, והטענה אינה נכונה. בחישוב מקורב:

תשובה: הטענה אינה נכונה (${\int }_{-4}^{-2}g<1<{\int }_2^{3}g$).

הלוגריתם מוגדר כאשר $x^n>0$. מכיוון ש־$n$ זוגי, $x^n>0$ לכל $x\ne 0$.

תשובה: $x\ne 0$

מכיוון ש־$n$ זוגי, $(-x{)}^n=x^n$ ו־$f(-x)=f(x)$: הפונקצייה זוגית והגרף שלה סימטרי ביחס לציר ה־$y$. בנוסף היא מוגדרת גם עבור $x<0$.

• גרפים $III$ ו־$IV$ מופיעים רק עבור $x>0$ – נפסלים.
• גרף $I$ אינו סימטרי ביחס לציר ה־$y$ – נפסל.

לכן הגרף המתאים הוא $II$.

תשובה: גרף $II$ ‏(‏מוגדרת לכל $x\ne 0$ וזוגית‏)‏.

עם $n=2$: $f(x)=\ln (x^2)$, ו:

תשובה: $(\pm e,0)$, $\left(\pm \frac{1}{e},0\right)$

לפי כלל השרשרת, עם $f^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2}=\frac{2}{x}$:

$g^{\prime }=0$ כאשר $\ln (x^2)=0$, כלומר $x=\pm 1$.

תשובה: מינימום: $(1,-4)$ ו־$(-1,-4)$

הפונקצייה $g$ זוגית. כאשר $x\to 0$: $\ln (x^2)\to -\infty$, ולכן $g\to +\infty$ – אסימפטוטה $x=0$. כאשר $x\to \pm \infty$: $g\to +\infty$. מינימום ב־$(\pm 1,-4)$, וחיתוכים עם ציר ה־$x$ ב־$\pm \frac{1}{e}$ וב־$\pm e$.

תשובה: סקיצה: סימטרית לציר ה־$y$; אסימפטוטה $x=0$; מינימום $(\pm 1,-4)$; חיתוכים $\pm \frac{1}{e},\pm e$.

$k$ מוגדרת בתחום $x>0$ כאשר המכנה $g(x)\ne 0$. לפי סעיף ב(1) ‏(‏עבור $x>0$‏)‏: $x\ne \frac{1}{e}$ ו־$x\ne e$.

תשובה: $x>0,x\ne \frac{1}{e},x\ne e$

בקטע $e^2\le x\le e^3$ מתקיים $x>e$, ולכן $g(x)>0$ וגם $g^{\prime }(x)>0$. כלומר $k(x)>0$, והשטח שווה לאינטגרל.

הפונקצייה $k$ היא מהצורה $\frac{g^{\prime }}{g}$, ולכן פונקציה קדומה שלה היא:

עבור $x>0$ מתקיים $\ln (x^2)=2\ln x$, ולכן:

תשובה: $S=\ln \frac{8}{3}\approx 0.98$