פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

המכנים אינם יכולים להתאפס:

תשובה: $x\ne 0,x\ne \ln 5$

אסימפטוטות אנכיות: בנקודות שבהן מכנה מתאפס והמונה לא: $x=0$ ו־$x=\ln 5$.

אסימפטוטות אופקיות:

כאשר $x\to \infty$: $e^x\to \infty$, ולכן שני השברים שואפים ל־0:

כאשר $x\to -\infty$: $e^x\to 0$, ולכן:

תשובה: $x=0,x=\ln 5,y=a,y=a-2$

נגזור כל שבר לפי ${\left(\frac{c}{g}\right)}^{\prime }=-\frac{c{g}^{\prime }}{g^2}$:

בכל תחום ההגדרה $e^x>0$ והריבועים במכנים חיוביים, ולכן כל אחד משני המחוברים שלילי, וסכומם שלילי: $f^{\prime }(x)<0$ לכל $x$ בתחום ההגדרה.

תשובה: $f^{\prime }(x)=-\frac{e^x}{(e^x-1{)}^2}-\frac{5e^x}{(e^x-5{)}^2}<0$ בכל תחום ההגדרה.

האסימפטוטות האופקיות הן $y=a$ ו־$y=a-2$. הישר $y=2$ הוא אחת מהן:

$a=2$, או $a-2=2$ כלומר $a=4$.

תשובה: $a=2$ או $a=4$

עם $a=2$ נעבור למכנה משותף $(e^x-1)(e^x-5)$:

נפתח את המונה:

והמכנה: $(e^x-1)(e^x-5)=e^{2x}-6e^x+5$. לכן:

תשובה: הוכח: $f(x)=\frac{2e^{2x}-6e^x}{e^{2x}-6e^x+5}$

נשווה את המונה לאפס:

$e^x>0$, ולכן $e^x=3$, כלומר $x=\ln 3$ ‏(‏בתחום ההגדרה‏)‏.

תשובה: $(\ln 3,0)$

עם $a=2$ האסימפטוטות הן:

• אנכיות: $x=0$ ו־$x=\ln 5\approx 1.61$.
• אופקית מימין ‏(‏$x\to \infty$‏)‏: $y=2$.
• אופקית משמאל ‏(‏$x\to -\infty$‏)‏: $y=0$.

לפי סעיף ב, הפונקצייה יורדת בכל אחד משלושת הקטעים:

• $x<0$: יורדת מ־$0$ אל $-\infty$.
• $0<x<\ln 5$: יורדת מ־$+\infty$ אל $-\infty$, וחותכת את ציר ה־$x$ בנקודה $(\ln 3,0)$.
• $x>\ln 5$: יורדת מ־$+\infty$ אל $2$.

תשובה: סקיצה: יורדת בכל קטע, חותכת את ציר ה־$x$ ב־$(\ln 3,0)$. אסימפטוטות אנכיות: $x=0,x=\ln 5$. אופקיות: $y=0,y=2$.

$\ln 2\approx 0.69$ נמצא בקטע $0<x<\ln 5$. בקטע זה $f$ יורדת ומתאפסת ב־$x=\ln 3$, ולכן בין $\ln 2$ ל־$\ln 3$ הגרף מעל ציר ה־$x$. השטח:

המונה הוא הנגזרת של המכנה:

ולכן פונקציה קדומה היא:

נציב את הגבולות. נשתמש ב:

תשובה: $S=\ln \frac{4}{3}\approx 0.288$

נגזור (${\left(\ln u\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$):

$f^{\prime }(x)=0$ עבור $x=1$ ו־$x=7$. המכנה חיובי תמיד, ולכן הסימן נקבע לפי $-2(x-1)(x-7)$:

מינימום ב־$(1,8\ln 8-2)$ ומקסימום ב־$(7,8\ln 56-14)$.

תשובה: מינימום: $(1,14.64)$. מקסימום: $(7,18.20)$.

נגזור שוב (הנגזרת של $-2$ היא $0$), לפי כלל המנה:

$f^{\prime \prime }(x)=0$ עבור $x=\pm \sqrt{7}$. המכנה חיובי, ולכן:

• $f^{\prime \prime }>0$ ‏(‏קעורה כלפי מעלה‏)‏ כאשר $-\sqrt{7}<x<\sqrt{7}$.
• $f^{\prime \prime }<0$ ‏(‏קעורה כלפי מטה‏)‏ כאשר $x<-\sqrt{7}$ או $x>\sqrt{7}$.

תשובה: קעורה כלפי מעלה: $-\sqrt{7}<x<\sqrt{7}$; קעורה כלפי מטה: $x<-\sqrt{7}$ או $x>\sqrt{7}$.

נאסוף את הנתונים: מינימום $(1,14.64)$, מקסימום $(7,18.20)$, נקודות פיתול ב־$x=\pm \sqrt{7}$, חיתוך עם ציר ה־$y$ ב־$(0,8\ln 7)\approx (0,15.57)$, וחיתוך אחד עם ציר ה־$x$ ‏(‏מימין ל־$x=7$, כי שם הפונקצייה יורדת לאינסוף שלילי‏)‏.

כאשר $x\to -\infty$: $f(x)\to \infty$; כאשר $x\to \infty$: $f(x)\to -\infty$ ‏(‏האיבר $-2x$ גובר על הלוגריתם‏)‏.

תשובה: סקיצה: יורדת עד מינימום $(1,14.64)$, עולה עד מקסימום $(7,18.20)$, ואחר כך יורדת וחותכת את ציר ה־$x$ פעם אחת.

$g$ מוגדרת כאשר $f(x)>18$, ויש לה אסימפטוטה אנכית בכל נקודה שבה $f(x)=18$ ‏(‏שם $f(x)-18\to 0^{+}$ ולכן $g(x)\to -\infty$‏)‏.

נספור את הפתרונות של $f(x)=18$ לפי סעיף א:

• $x<1$: $f$ יורדת מ־$\infty$ אל $14.64<18$ – פתרון אחד.
• $1<x<7$: $f$ עולה מ־$14.64$ אל $18.20>18$ – פתרון אחד.
• $x>7$: $f$ יורדת מ־$18.20$ אל $-\infty$ – פתרון אחד.

לכן יש שלוש נקודות כאלה. נסמן אותן:

תחום ההגדרה של $g$:

תשובה: 3 אסימפטוטות אנכיות

נגזור לפי ${\left(\ln u\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$:

בתחום ההגדרה המכנה חיובי, ולכן ל־$g^{\prime }$ ול־$f^{\prime }$ יש אותו סימן.

$f^{\prime }=0$ רק ב־$x=1$ וב־$x=7$. הנקודה $x=1$ אינה בתחום של $g$, כי $f(1)\approx 14.64<18$.

לכן הקיצון היחיד הוא ב־$x=7$. שם $f$, ולכן גם $g$, עוברת מעלייה לירידה – זו נקודת מקסימום:

תשובה: מקסימום: $(7,-1.60)$

• $x<x_1$: כאשר $x\to -\infty$, $f\to \infty$ ולכן $g\to \infty$. $g$ יורדת ‏(‏כמו $f$‏)‏ אל $-\infty$ ליד $x_1$. בדרך היא חותכת את ציר ה־$x$ ‏(‏שם $f(x)=19$‏)‏.
• $x_2<x<x_3$: $g$ עולה מ־$-\infty$ אל המקסימום $(7,-1.60)$, ואחר כך יורדת אל $-\infty$. כל הענף הזה מתחת לציר ה־$x$.

תשובה: סקיצה: שני ענפים; שלוש אסימפטוטות אנכיות; ענף שמאלי יורד מ־$\infty$ ל־$-\infty$, ענף ימני מתחת לציר עם מקסימום $(7,-1.60)$.

תחום ההגדרה: $x>0$. נשווה ל־0:

$x^n>0$ בתחום, ולכן:

תשובה: $(e^3,0)$

נגזור לפי כלל המכפלה:

נציב $x=1$ ‏(‏$\ln 1=0$‏)‏ ונשווה לשיפוע 2:

תשובה: $n=1$

נציב $n=1$ ונקבל $f(x)=x(3-\ln x)$. לפי סעיף ב:

בדיקה: $f^{\prime }(1)=2>0$ ו־$f^{\prime }(e^3)=-1<0$.

תשובה: מקסימום: $(e^2,e^2)$

נאסוף את הנתונים:

• תחום ההגדרה $x>0$.
• כאשר $x\to 0^{+}$ מתקיים $f(x)\to 0$ ‏(‏כי $x\ln x\to 0$‏)‏, אבל הנקודה $(0,0)$ אינה שייכת לגרף.
• עולה עד המקסימום $(e^2,e^2)$ ויורדת אחריו.
• חותכת את ציר ה־$x$ בנקודה $(e^3,0)$.
• כאשר $x\to \infty$ מתקיים $f(x)\to -\infty$.

תשובה: מקסימום: $(e^2,e^2)$
חיתוך עם ציר ה־$x$: $(e^3,0)$
מתחילה ליד הראשית (שאינה על הגרף) ויורדת ל־$-\infty$

$g(x)=\frac{1}{f(x)}$ מוגדרת כאשר $f$ מוגדרת ושונה מ־0. $f$ מוגדרת ל־$x>0$ ומתאפסת רק ב־$x=e^3$ ‏(‏סעיף א‏)‏.

תשובה: $x>0,x\ne e^3$

אנכיות: כאשר $x\to e^3$ מתקיים $f(x)\to 0$, ולכן $|g(x)|\to \infty$. אסימפטוטה:

כאשר $x\to 0^{+}$ מתקיים $f(x)\to 0^{+}$, ולכן $g(x)\to +\infty$. אסימפטוטה:

אופקית: כאשר $x\to \infty$ מתקיים $f(x)\to -\infty$, ולכן $g(x)\to 0^{-}$. אסימפטוטה ‏(‏מימין‏)‏:

תשובה: אנכיות: $x=0,x=e^3$
אופקית (מימין): $y=0$

$g^{\prime }(x)=-\frac{f^{\prime }(x)}{f^2(x)}$, ולכן ל־$g$ סימן נגזרת הפוך לזה של $f$:

• בקטע $0<x<e^2$ הפונקצייה $f$ עולה, ולכן $g$ יורדת.
• עבור $x>e^2$ ‏(‏פרט ל־$e^3$‏)‏ הפונקצייה $f$ יורדת, ולכן $g$ עולה.

במקסימום של $f$ יש ל־$g$ מינימום: $g(e^2)=\frac{1}{e^2}$. בקטע $0<x<e^3$ מתקיים $f>0$, ולכן גם $g>0$. עבור $x>e^3$ מתקיים $g<0$, והיא עולה מ־$-\infty$ אל 0.

תשובה: בקטע $0<x<e^3$: חיובית, מינימום $(e^2,\frac{1}{e^2})$
עבור $x>e^3$: שלילית ועולה אל $y=0$

נתון $1<a<3$, ולכן $e<e^a<e^3$. הקטע כולו בתוך $0<x<e^3$, ושם $g>0$. השטח:

נשים לב שהנגזרת של $3-\ln x$ היא $-\frac{1}{x}$, ולכן:

תשובה: $a=2.8$

הביטוי $\ln (4-e^x)$ מוגדר כאשר:

שאר האיברים מוגדרים לכל $x$.

תשובה: $x<\ln 4$

אנכית: כאשר $x\to \ln 4^{-}$ מתקיים $4-e^x\to 0^{+}$. לכן $\ln (4-e^x)\to -\infty$, וגם $f(x)\to -\infty$. אסימפטוטה:

אופקית: אפשר לבדוק רק $x\to -\infty$ ‏(‏התחום חסום מימין‏)‏. כאשר $x\to -\infty$:

והאיבר $-x$ שואף ל־$+\infty$. לכן $f(x)\to +\infty$, ואין אסימפטוטה אופקית.

תשובה: אנכית: $x=\ln 4$
אין אסימפטוטה אופקית

נגזור ‏(‏הנגזרת של $\ln (4-e^x)$ היא $\frac{-e^x}{4-e^x}$‏)‏:

מכנה משותף:

תשובה: הוכח: $f^{\prime }(x)=\frac{-4(e^x-1{)}^2}{4-e^x}$

בתחום $x<\ln 4$ המכנה $4-e^x$ חיובי, והמונה $-4(e^x-1{)}^2$ אינו חיובי. לכן $f^{\prime }(x)\le 0$ לכל $x$ בתחום. הנגזרת מתאפסת רק כאשר $e^x=1$, כלומר ב־$x=0$.

הנגזרת לא מחליפה סימן ב־$x=0$, ולכן אין שם קיצון: הפונקצייה יורדת בכל תחום הגדרתה.

תשובה: יורדת בכל תחום ההגדרה $x<\ln 4$
אין תחום עלייה

משיק מקביל לציר ה־$x$ – שיפועו 0, כלומר $f^{\prime }(x)=0$, ולפי ג (1) זה קורה רק ב־$x=0$:

תשובה: $y=4+9\ln 3\approx 13.89$

נאסוף את הנתונים:

• יורדת בכל התחום $x<\ln 4$.
• כאשר $x\to -\infty$ מתקיים $f\to +\infty$.
• כאשר $x\to \ln 4^{-}$ מתקיים $f\to -\infty$ ‏(‏אסימפטוטה $x=\ln 4$‏)‏.
• בנקודה $(0,4+9\ln 3)$ המשיק אופקי ‏(‏נקודת פיתול‏)‏.
• הגרף חותך את ציר ה־$x$ פעם אחת, קרוב ל־$\ln 4$ ‏(‏אין צורך במיקום המדויק – המשוואה אינה נפתרת אלגברית‏)‏.

תשובה: יורדת בכל התחום
משיק אופקי ב־$(0,4+9\ln 3)$
אסימפטוטה: $x=\ln 4$

הנגזרת $f^{\prime }(x)=\frac{-4(e^x-1{)}^2}{4-e^x}$ מוגדרת באותו תחום, $x<\ln 4$.

אנכית: כאשר $x\to \ln 4^{-}$ המכנה שואף ל־$0^{+}$ והמונה שואף ל־$-4\cdot 3^2=-36$. לכן $f^{\prime }(x)\to -\infty$, ויש אסימפטוטה:

אופקית: כאשר $x\to -\infty$ מתקיים $e^x\to 0$, ולכן:

אסימפטוטה ‏(‏משמאל‏)‏:

תשובה: אנכית: $x=\ln 4$
אופקית (משמאל): $y=-1$

לפי ג (1), $f^{\prime }(x)\le 0$ ומתאפסת רק ב־$x=0$. לכן לגרף של $f^{\prime }$ יש מקסימום בנקודה $(0,0)$, והוא משיק שם לציר ה־$x$.

הנקודה $x=0$ היא נקודת הפיתול היחידה של $f$, ולכן זו נקודת הקיצון היחידה של $f^{\prime }$. משמאל ל־0 הנגזרת $f^{\prime }$ עולה מ־$-1$ אל 0, ובין 0 ל־$\ln 4$ היא יורדת מ־0 אל $-\infty$.

תשובה: מקסימום: $(0,0)$
אסימפטוטה משמאל: $y=-1$
אסימפטוטה אנכית: $x=\ln 4$

$g(x)=f(x)+ax$, ולכן:

נקודת קיצון של $g$ היא נקודה שבה $g^{\prime }$ מתאפסת ומחליפה סימן, כלומר נקודה שבה הגרף של $f^{\prime }$ חותך את הישר $y=-a$.

לפי הסקיצה של $f^{\prime }$ ‏(‏ה (2)‏):

• אם $-1<-a<0$, הישר $y=-a$ חותך את גרף $f^{\prime }$ פעמיים: פעם משמאל ל־0 ‏(‏שם $f^{\prime }$ עולה מ־$-1$ ל־0‏)‏ ופעם מימין ל־0. בכל חיתוך $g^{\prime }$ מחליפה סימן, ולכן יש שתי נקודות קיצון.
• אם $-a\le -1$, יש חיתוך אחד בלבד ‏(‏מימין ל־0‏)‏, ולכן נקודת קיצון אחת.
• אם $-a=0$, הישר משיק לגרף בנקודה $(0,0)$ בלי החלפת סימן, ולכן אין קיצון. אם $-a>0$, אין חיתוך כלל.

לכן שתי נקודות קיצון בדיוק כאשר:

תשובה: $0<a<1$

$f(x)$ יורדת בכל אחד מהתחומים $x>0$ ו־$x<0$, ולכן $f^{\prime }(x)\le 0$ שם. נתון $f^{\prime }(x)\ne 0$, ולכן:

לכל $x\ne 0$. בנוסף $e^{f(x)}>0$ תמיד. מכפלה של מספר שלילי במספר חיובי היא שלילית:

תשובה: $g(x)$ שלילית בכל תחום הגדרתה ($x<0$ ו־$x>0$); אין לה תחום חיוביות.

עם $f(x)=\frac{1}{x}$: $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$, ולכן:

ליד $x=0$:

• $x\to 0^{+}$: $\frac{1}{x}\to \infty$, והמכפלה $\frac{1}{x^2}{e}^{\frac{1}{x}}\to \infty$, ולכן $g(x)\to -\infty$.
• $x\to 0^{-}$: נסמן $u=\frac{1}{x}\to -\infty$. אז $g=-u^2{e}^u\to 0$ ‏(‏האקספוננט שואף לאפס מהר יותר‏)‏.

לכן $x=0$ אסימפטוטה אנכית מימין בלבד.

כאשר $x\to \pm \infty$: $e^{\frac{1}{x}}\to 1$ ו־$\frac{1}{x^2}\to 0$, ולכן $g(x)\to 0$: אסימפטוטה אופקית $y=0$.

תשובה: $x=0$ ‏(‏מימין‏)‏, $y=0$

נגזור לפי כלל המכפלה (${\left(e^{\frac{1}{x}}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}{e}^{\frac{1}{x}}$):

$\frac{e^{1/x}}{x^4}>0$, ולכן הסימן של $g^{\prime }$ הוא הסימן של $2x+1$. $g^{\prime }=0$ עבור $x=-\frac{1}{2}$:

תשובה: מינימום: $\left(-\frac{1}{2},-\frac{4}{e^2}\right)\approx (-0.5,-0.54)$

הגרף כולו מתחת לציר ה־$x$. משמאל: יורד מ־$0$ ‏(‏אסימפטוטה $y=0$‏)‏ עד המינימום $\left(-\frac{1}{2},-\frac{4}{e^2}\right)$, ואז עולה ושואף ל־$0$ כאשר $x\to 0^{-}$ ‏(‏הראשית אינה בגרף – עיגול ריק‏)‏. מימין: עולה מ־$-\infty$ ‏(‏ליד $x=0^{+}$‏)‏ ושואף ל־$0$ כאשר $x\to \infty$.

תשובה: סקיצה: כולה מתחת לציר ה־$x$; מינימום $\left(-\frac{1}{2},-\frac{4}{e^2}\right)$; אסימפטוטות $x=0$ ‏(‏מימין‏)‏ ו־$y=0$.

נתון $a>1$, ולכן:

ולכן:

בקטע הזה $g(x)<0$, ולכן השטח הוא מינוס האינטגרל.

$g=f^{\prime }\cdot e^f$, ולכן פונקציה קדומה של $g$ היא:

בגבולות: $\frac{1}{x}=\ln a$ או $\frac{1}{x}=\ln (4a)$, ולכן:

השטח הוא $3a$:

תשובה: $a=\frac{5}{3}$

$\ln x$ מוגדר עבור $x>0$. בנוסף אסור שמכנה יתאפס: $x\ne 0$ ו־$\ln x\ne 0$, כלומר $x\ne 1$.

תשובה: $x>0,x\ne 1$

נכתוב את הפונקצייה כסכום:

הנגזרת של המכנה $x{\ln }^{2}x$ היא ${\ln }^{2}x+2\ln x$, ולכן:

בנקודת קיצון $f^{\prime }=0$. נציב $x=\frac{1}{e}$, שבה $\ln x=-1$:

בדיקה שעבור $a=1$ זו נקודת הקיצון היחידה: נסמן $u=\ln x$. המונה של $f^{\prime }$ ‏(‏אחרי כינוס‏)‏ הוא:

$u\ne 0$, ו־$u^2-u+2>0$ תמיד ‏(‏דיסקרימיננטה שלילית‏)‏. לכן $f^{\prime }=0$ רק עבור $u=-1$, והסימן מתחלף שם.

תשובה: $a=1$

$g^{\prime }(x)=f(x)$ עם $a=1$:

נמצא פונקציה קדומה. למחובר הראשון: $\int \frac{1}{x}dx=\ln x$. למחובר השני נשתמש בנגזרת:

ולכן:

$g^{\prime \prime }=f^{\prime }$, ולפי סעיף ב $f^{\prime }$ מתאפסת ומחליפה סימן רק ב־$x=\frac{1}{e}$. לכן נקודת הפיתול של $g$ היא ב־$x=\frac{1}{e}$, והיא על ציר ה־$x$:

שימו לב: תחום ההגדרה מורכב משני קטעים ($0<x<1$ ו־$x>1$), ולכן להלכה אפשר לבחור קבוע אחר בקטע $x>1$. השאלה מבקשת פונקצייה אחת כזו – בוחרים את אותו קבוע, כמו במפתח.

תשובה: $g(x)=\ln x-\frac{1}{\ln x}$

• $x\to 0^{+}$: $\ln x\to -\infty$ ו־$\frac{1}{\ln x}\to 0$, ולכן $g(x)\to -\infty$ – אסימפטוטה $x=0$.
• $x\to 1$: $\ln x\to 0$, ולכן $\frac{1}{\ln x}\to \pm \infty$ – אסימפטוטה $x=1$.
• $x\to \infty$: $g(x)\to \infty$ – אין אסימפטוטה אופקית.

תשובה: $x=0,x=1$ ‏(‏אין אסימפטוטה אופקית‏)‏

נכפול ב־$\ln x\ne 0$:

תשובה: $\left(\frac{1}{e},0\right)$ ו־$(e,0)$

בתחום ההגדרה $x>0$, ושני הגורמים חיוביים, ולכן $g^{\prime }(x)>0$.

תשובה: עולה בתחומים $0<x<1$ ו־$x>1$; אין תחומי ירידה.

• $0<x<1$: עולה מ־$-\infty$ ‏(‏ליד $x=0$‏)‏ אל $+\infty$ ‏(‏ליד $x=1$‏)‏, וחותכת את ציר ה־$x$ ב־$\left(\frac{1}{e},0\right)$ – שם גם נקודת הפיתול.
• $x>1$: עולה מ־$-\infty$ ‏(‏ליד $x=1$‏)‏ אל $+\infty$, וחותכת את ציר ה־$x$ ב־$(e,0)$.

תשובה: סקיצה: שני ענפים עולים; אסימפטוטות $x=0,x=1$; חיתוכים $\left(\frac{1}{e},0\right)$ ו־$(e,0)$.

$h(x)=\ln |g(x)|$ מוגדרת כאשר $g$ מוגדרת ו־$g(x)\ne 0$:

תשובה: $x>0$, $x\ne \frac{1}{e},x\ne 1,x\ne e$

נבדוק את ההתנהגות של $h$:

• ליד $x=0^{+}$ וליד $x=1$: $|g|\to \infty$, ולכן $h\to +\infty$.
• ליד $x=\frac{1}{e}$ וליד $x=e$: $|g|\to 0$, ולכן $h\to -\infty$.
• כאשר $x\to \infty$: $g\to \infty$, ולכן $h\to \infty$; ובתחום $x>e$ הפונקצייה $g$ חיובית ועולה, ולכן גם $h$ עולה.

כלומר ל־$h$ יש ארבע אסימפטוטות אנכיות: $x=0,\frac{1}{e},1,e$. ליד ציר ה־$y$ הגרף עולה לפלוס אינסוף, ליד $x=\frac{1}{e}$ יורד למינוס אינסוף, ליד $x=1$ עולה לפלוס אינסוף, ליד $x=e$ יורד למינוס אינסוף, ומימין ל־$e$ הוא עולה.

• גרפים $III$ ו־$IV$ אף פעם לא יורדים למינוס אינסוף – לא מתאימים.
• בגרף $I$ הגרף יורד למינוס אינסוף ליד ציר ה־$y$, והענף הימני שלו יורד – לא מתאים.
• גרף $II$ מתאים לכל התכונות.

תשובה: גרף $II$

המכנה $e^x-x$ חיובי לכל $x$ ‏(‏לכן אין אסימפטוטה אנכית‏)‏.

כאשר $x\to \infty$: נחלק מונה ומכנה ב־$e^x$:

לכן $f(x)\to 1+b$.

כאשר $x\to -\infty$: מתקיים $e^x\to 0$, ונחלק ב־$x$: