מצגות הסבר › פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

מצגת הסבר – פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

13 שקפים · חקירה של פונקציות עם e בחזקת x ועם ln x: תחום, אסימפטוטות, נגזרת, סקיצה ושטח

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות · מצגת הסבר

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

מצגת הסבר – חקירה של $e^{x}$ ושל $ln x$ , אסימפטוטות, נגזרות ואינטגרלים

מתמטיקה 5 יח״לשאלון 35572תכנית חדשה

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355721 / 13

בס״דפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות · מצגת הסבר

מה נלמד?

בשאלות 4–5 בשאלון חוקרים פונקציה עם $e^{x}$ או עם $ln x$ :

תחום הגדרה ונקודות חיתוך עם הצירים
אסימפטוטות – אנכיות ואופקיות (לכל צד בנפרד!)
נגזרת: קיצון, עלייה וירידה, ולפעמים קעירות
סקיצה, ולפעמים גרף של פונקציה נוספת ( $\frac{1}{f}$ , ‏ $f^{'}$ )
שטח בעזרת אינטגרל, ופרמטר מנתון

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355722 / 13

בס״דפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות · מצגת הסבר

הרעיונות החשובים

$e^{x}$ תמיד חיובי

לכל $x$ מתקיים $e^{x} > 0$ . לכן במכפלה עם $e^{x}$ רק הגורם השני יכול להתאפס.

כאשר $x \to - \infty$ : ‏ $e^{x} \to 0$ . ‏וגם $e^{0} = 1$ .

$ln x$ רק ל־ $x > 0$

תחום: מה שבתוך ה־ $ln$ חיובי. ‏ $ln 1 = 0$ , ‏ $ln e = 1$ .

כאשר $x \to 0^{+}$ : ‏ $ln x \to - \infty$ ← לרוב אסימפטוטה $x = 0$ .

פונקציות הפוכות

$e^{x} = a \Rightarrow x = ln a$ ‏( $a > 0$ )

$ln x = b \Rightarrow x = e^{b}$

לזכור (לא בנוסחאון): $ln x = lo g_{e} x$

מי „מנצח”?

$e^{x}$ גדל מהר יותר מכל פולינום, ופולינום גדל מהר יותר מ־ $ln x$ .

‏ $\frac{e ^{x}}{e ^{x} - 4}$ כאשר $x \to \infty$ ← מחלקים מונה ומכנה ב־ $e^{x}$ .

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355723 / 13

בס״דפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות · מצגת הסבר

הנוסחאות מהנוסחאון – חזקות ולוגריתמים

נוסחאון · חזקות

a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y} \frac{a ^{x}}{a ^{y}} = a^{x - y}

(a^{x})^{y} = a^{x \cdot y} a^{- x} = \frac{1}{a ^{x}}

למשל: $e^{2 x} = (e^{x})^{2}$ ‏· ‏ $\frac{e ^{x} - 4}{e ^{x}} = 1 - 4 e^{- x}$

נוסחאון · לוגריתמים

lo g_{a} (a^{b}) = b a^{l o g_{a} x} = x

lo g_{a} (x^{b}) = b \cdot lo g_{a} x

lo g_{a} x + lo g_{a} y = lo g_{a} (x \cdot y)

lo g_{a} x - lo g_{a} y = lo g_{a} (\frac{x}{y})

lo g_{c} x = \frac{lo g _{a} x}{lo g _{a} c}

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355724 / 13

בס״דפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות · מצגת הסבר

הנוסחאות מהנוסחאון – נגזרות ואינטגרלים

נוסחאון · נגזרות

(a^{x})^{'} = a^{x} \cdot ln a (lo g_{a} x)^{'} = \frac{1}{x \cdot ln a}

עם $a = e$ (כי $ln e = 1$ ):

(e^{x})^{'} = e^{x} (ln x)^{'} = \frac{1}{x}

פונקצייה מורכבת: $[f (u (x))]^{'} = f^{'} (u) \cdot u^{'} (x)$

למשל: $(e^{2 x - 1})^{'} = 2 e^{2 x - 1}$

נוסחאון · אינטגרלים

\int e^{x} d x = e^{x} + C \int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C

\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C

\int f (m x + b) d x = \frac{1}{m} F (m x + b) + C

\int f [u (x)] \cdot u^{'} (x) d x = F [u (x)] + C

למשל: $\int \frac{l n x}{x} d x = \frac{( l n x ) ^{2}}{2} + C$ ‏( $u = ln x$ )

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355725 / 13

בס״דפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות · מצגת הסבר

שיטת הפתרון – חקירה שלב אחרי שלב

תחום: מכנה שונה מ־0 (למשל $e^{x} \neq = 4$ ← $x \neq = ln 4$ ); בתוך $ln$ – חיובי.
אסימפטוטה אנכית: היכן שהמכנה מתאפס (והמונה לא), או $x = 0$ אצל $ln x$ .
אופקית: בודקים בנפרד $x \to \infty$ ו־ $x \to - \infty$ .
נגזרת (מכפלה / מנה / מורכבת) ← מוציאים $e^{x}$ גורם משותף ← טבלת סימנים.
את ה־ $y$ של הקיצון מציבים ב־ $f$ .
סקיצה לפי כל הנתונים, ובסוף שטח.

טריק: הצבה $t = e^{x}$

משוואה עם $e^{2 x}$ ו־ $e^{x}$ ← משוואה ריבועית ב־ $t$ :

e^{2 x} - 3 e^{x} - 4 = 0

t^{2} - 3 t - 4 = 0

t_{1} = 4, t_{2} = - 1

$e^{x} > 0$ ← רק $e^{x} = 4$ , כלומר $x = ln 4$ .

בגרות חורף תשפ״ב (2022) · שאלה 4

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355726 / 13

בס״דפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – תחום ואסימפטוטות

בגרות קיץ תשפ״ג (2023) – מועד ב׳ · שאלה 5

נתונה $f (x) = \frac{e ^{x}}{e ^{x} - 4}$ . ‏א. (1) תחום ההגדרה. (2) אסימפטוטות המאונכות לצירים.

(1) המכנה מתאפס כאשר $e^{x} = 4$ :

$x \neq = ln 4$

(2) אנכית: ב־ $x = ln 4$ המכנה 0 והמונה 4 ← $x = ln 4$ .

$x \to \infty$ : מחלקים מונה ומכנה ב־ $e^{x}$ :

f (x) = \frac{1}{1 - 4 e ^{- x}} \to 1

$x \to - \infty$ : המונה שואף ל־0 והמכנה ל־ $- 4$ :

f (x) \to 0

$x = ln 4$ ‏· ‏ $y = 1$ (מימין) ‏· ‏ $y = 0$ (משמאל)

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355727 / 13

בס״דפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – נגזרת וסקיצה

בגרות קיץ תשפ״ג (2023) – מועד ב׳ · שאלה 5

(3) תחומי עלייה וירידה. ‏(4) סקיצה.

כלל המנה:

f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( e ^{x} - 4 ) - e ^{x} \cdot e ^{x}}{( e ^{x} - 4 ) ^{2}}

f^{'} (x) = \frac{- 4 e ^{x}}{( e ^{x} - 4 ) ^{2}}

המונה שלילי והמכנה חיובי ← $f^{'} (x) < 0$ בכל התחום.

יורדת ב־ $x < ln 4$ וב־ $x > ln 4$

חיתוך עם ציר $y$ : ‏ $f (0) = \frac{1}{1 - 4} = - \frac{1}{3}$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355728 / 13

בס״דפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – שטח וחיתוך (ב, ג)

בגרות קיץ תשפ״ג (2023) – מועד ב׳ · שאלה 5

$g (x) = \frac{1}{f ( x )}$ . ‏ב (3) חשבו את השטח בין $g$ , האסימפטוטה האופקית שלה והישרים $x = ln 5$ , ‏ $x = ln 8$ .

$g (x) = \frac{e ^{x} - 4}{e ^{x}} = 1 - 4 e^{- x}$ ‏(עם נקודה ריקה ב־ $x = ln 4$ ).

אסימפטוטה $y = 1$ , והגרף מתחתיה, לכן:

S = \int_{l n 5}^{l n 8} (1 - g (x)) d x = \int_{l n 5}^{l n 8} 4 e^{- x} d x

= [- 4 e^{- x}]_{l n 5}^{l n 8} = - \frac{4}{8} + \frac{4}{5}

$S = 0.3$

ג. חיתוך $f$ ו־ $g$ :

e^{2 x} = (e^{x} - 4)^{2} \Rightarrow 8 e^{x} = 16

$e^{x} = 2$ ← $x = ln 2$ , ‏ $f (ln 2) = \frac{2}{2 - 4}$

$(ln 2, - 1)$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355729 / 13

בס״דפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – פונקציה לוגריתמית

בגרות קיץ תשפ״ג (2023) – מועד א׳ · שאלה 5

נתונה $f (x) = ln x + \frac{1}{x}$ . ‏א. (1) תחום. (2) קיצון. (3) סקיצה.

(1) ‏ $ln x$ ← $x > 0$ (וגם המכנה שונה מ־0).

$x > 0$

(2)

f^{'} (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x ^{2}} = \frac{x - 1}{x ^{2}}

מתאפסת ב־ $x = 1$ : משמאל שלילית, מימין חיובית.

f (1) = ln 1 + 1 = 1

מינימום $(1, 1)$

(3) כאשר $x \to 0^{+}$ האיבר $\frac{1}{x}$ שולט ← $f \to \infty$ : אסימפטוטה $x = 0$ .

המינימום הוא 1 ← $f (x) > 0$ לכל $x$ בתחום.

את העובדה הזאת נצטרך בסעיף הבא – כדאי לשים לב למסקנות כאלה!

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557210 / 13

בס״דפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות · מצגת הסבר

אותה שאלה – נגזרת כמכפלה ושטח (ב, ג)

בגרות קיץ תשפ״ג (2023) – מועד א׳ · שאלה 5

ב. ‏ $g (x) = (x + 1) (1 - ln x)$ : חיתוך עם ציר $x$ , ותחומי עלייה וירידה.

$x + 1 > 0$ בתחום ← $ln x = 1$ ← $x = e$ .

$(e, 0)$

כלל המכפלה:

g^{'} (x) = (1 - ln x) + (x + 1) (- \frac{1}{x})

= - (ln x + \frac{1}{x}) = - f (x)

$f (x) > 0$ (סעיף א), ולכן $g^{'} (x) < 0$ :

$g$ יורדת לכל $x > 0$

ג. ‏ $h (x) = \frac{g ^{'} ( x )}{x}$ . מצאו את השטח בין $h$ לציר $x$ בין $x = 1$ ל־ $x = e$ .

h (x) = - \frac{ln x}{x} - \frac{1}{x ^{2}} < 0

$h$ שלילית ← השטח הוא מינוס האינטגרל:

S = \int_{1}^{e} (\frac{ln x}{x} + \frac{1}{x ^{2}}) d x = [\frac{1}{2} (ln x)^{2} - \frac{1}{x}]_{1}^{e}

$S = \frac{3}{2} - \frac{1}{e} \approx 1.13$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557211 / 13

בס״דפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

אסימפטוטה אופקית – בודקים כל צד בנפרד; לפעמים יש שתיים שונות.
למשוואה $e^{x} = - 1$ אין פתרון – פוסלים.
$ln x$ מוגדר רק ל־ $x > 0$ – גם בסקיצה!

$(e^{2 x})^{'} = 2 e^{2 x}$ – לא שוכחים את הנגזרת הפנימית.
שטח מתחת לציר $x$ – מינוס האינטגרל.
קודם תשובה מדויקת, אחר כך קירוב: $\frac{3}{2} - \frac{1}{e} \approx 1.13$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557212 / 13

בס״דפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

פתרו: $e^{2 x} - 5 e^{x} + 6 = 0$ .
גזרו: $f (x) = x \cdot ln x$ .
מצאו את תחום ההגדרה של $f (x) = ln (x - 3)$ .
חשבו: $\int_{0}^{l n 2} e^{2 x} d x$ .

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$t = e^{x}$ : ‏ $t = 2$ או $t = 3$ ← $x = ln 2, x = ln 3$
$f^{'} (x) = ln x + x \cdot \frac{1}{x} = ln x + 1$
$x - 3 > 0$ ← $x > 3$
$[\frac{1}{2} e^{2 x}]_{0}^{l n 2} = \frac{1}{2} (4 - 1) = 1.5$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557213 / 13

› לכל המצגות

מצגת הסבר – פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

מה נלמד?

הרעיונות החשובים

ex תמיד חיובי

lnx רק ל־x>0

פונקציות הפוכות

מי „מנצח”?

הנוסחאות מהנוסחאון – חזקות ולוגריתמים

הנוסחאות מהנוסחאון – נגזרות ואינטגרלים

שיטת הפתרון – חקירה שלב אחרי שלב

טריק: הצבה t=ex

שאלת בגרות פתורה – תחום ואסימפטוטות

שאלת בגרות פתורה – נגזרת וסקיצה

שאלת בגרות פתורה – שטח וחיתוך (ב, ג)

שאלת בגרות פתורה – פונקציה לוגריתמית

אותה שאלה – נגזרת כמכפלה ושטח (ב, ג)

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בדיקה עצמית

$e^{x}$ תמיד חיובי

$ln x$ רק ל־ $x > 0$

טריק: הצבה $t = e^{x}$