מספרים מרוכבים

נחשב את המכפלה ואת המנה לפי כללי הכפל והחילוק בצורה הטריגונומטרית:

נשתמש ב־$\cos (2\alpha +90^{\circ })=-\sin 2\alpha$ וב־$\sin (2\alpha +90^{\circ })=\cos 2\alpha$:

שיעור ה־$x$ של $A$ הוא החלק הממשי של $w$:

$0^{\circ }<2\alpha <180^{\circ }$, ולכן $2\alpha =90^{\circ }$.

תשובה: $\alpha =45^{\circ }$

שיעור ה־$y$ של $A$ הוא החלק המדומה של $w$. עם $\alpha =45^{\circ }$:

$r>0$, ולכן $r=1$.

תשובה: $r=1$

עם $\alpha =45^{\circ }$, $r=1$:

נעביר את $w$ לצורה טריגונומטרית: $|w|=\sqrt{2}$, והוא ברביע השלישי, ולכן $w=\sqrt{2}\text{cis}225^{\circ }$.

לפי משפט דה־מואבר:

ולכן המשוואה היא:

נוציא שורש רביעי: $\sqrt[4]{256}=4$, והזוויות:

ארבעת הפתרונות:

תשובה: $z=4\text{cis}(45^{\circ }+90^{\circ }k)$, $k=0,1,2,3$: $\pm 2\sqrt{2}\pm 2\sqrt{2}i$

$B$ ברביע הראשון ו־$C$ ברביע השני:

המקום הגאומטרי $|z|=b$ הוא מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו $b$. הוא חותך את החלק החיובי של ציר ה־$y$ בנקודה $K(0,b)$.

הקטע $OK$ על ציר ה־$y$ מחלק את המרובע $CKBO$ לשני משולשים, $OKB$ ו־$OKC$. בכל אחד מהם הבסיס $OK=b$, והגובה הוא המרחק של $B$ (או של $C$) מציר ה־$y$, כלומר $2\sqrt{2}$:

נשווה לנתון:

תשובה: $b=3.5$

נכתוב את $-64$ בהצגה קוטבית: המרחק מהראשית 64, והזווית $180^{\circ }$:

לפי נוסחת דה־מואבר לשורשים:

$k=0,1,2$:

תשובה: $z_1=4(\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ })$
$z_2=4(\cos 180^{\circ }+i\sin 180^{\circ })=-4$
$z_3=4(\cos 300^{\circ }+i\sin 300^{\circ })$

שתי נקודות ‏(‏שונות מ־$O$‏)‏ נמצאות על ישר אחד שעובר דרך $O$ אם ורק אם הזוויות שלהן שוות או שונות ב־$180^{\circ }$, כלומר ההפרש ביניהן הוא כפולה של $180^{\circ }$:

בתחום $50^{\circ }<\alpha <130^{\circ }$ מתקבלים שני ערכים:

תשובה: $\alpha =60^{\circ }$ או $\alpha =120^{\circ }$

$w_1=r(\cos {\alpha }^{\circ }+i\sin {\alpha }^{\circ })$ הוא אחד מפתרונות סעיף א, שהזוויות שלהם $60^{\circ },180^{\circ },300^{\circ }$ והמודול שלהם 4.

מבין הערכים מסעיף ב ‏(‏$60^{\circ }$ או $120^{\circ }$‏)‏ רק $60^{\circ }$ היא זווית של פתרון. לכן:

תשובה: $\alpha =60^{\circ },r=4$

נמצא את ארבעת הקודקודים. לפי סעיף ג, $r=4$ ו־$\alpha =60^{\circ }$. לכן במספר $w_2$ המודול הוא $2r=8$ והזווית היא $4\alpha =240^{\circ }$.

הזוויות של הקודקודים: $A$ – $60^{\circ }$, $B$ – $90^{\circ }$, $C$ – $240^{\circ }$, $D$ – $270^{\circ }$. הראשית $O$ נמצאת בתוך המרובע ($AC$ ו־$BD$ עוברים דרכה), ולכן נחלק את המרובע לארבעה משולשים עם קודקוד משותף $O$:

הזוויות ב־$O$ הן הפרשי הארגומנטים: $\angle AOB=30^{\circ }$, $\angle BOC=150^{\circ }$, $\angle COD=30^{\circ }$, $\angle DOA=150^{\circ }$. לפי נוסחת שטח משולש $\frac{1}{2}ab\sin \gamma$:

תשובה: הוכח: שטח המרובע $ABCD$ הוא 36.

הזווית של $B$ ‏(‏$w_3=4i$‏)‏ היא $90^{\circ }$, והזווית של $A$ ‏(‏$w_1$‏)‏ היא $60^{\circ }$. חוצה הזווית $BOA$ ברביע הראשון יוצר זווית $75^{\circ }$ עם הציר הממשי. לכן:

כאשר $\rho =|u|>1$. נחשב:

‏(‏כי $-75^{\circ }$ ו־$285^{\circ }$ הן אותה זווית‏)‏. נשווה מודולים:

נתון $|u|>1$, ולכן $\rho =5$.

תשובה: $u=5(\cos 75^{\circ }+i\sin 75^{\circ })$

נציב $z=x+iy$. אז $\bar{z}=x-iy$, ולכן:

המשוואה נהיית:

‏(‏אגף ימין הוא אורך, ולכן $y+2\ge 0$.‏)‏ נעלה בריבוע:

זו פרבולה: $y=\frac{x^2}{8}$ ‏(‏בה $y\ge 0$, ולכן התנאי $y+2\ge 0$ מתקיים‏)‏. במילים: כל הנקודות שמרחקן מ־$(0,2)$ שווה למרחקן מהישר $y=-2$.

תשובה: פרבולה: $x^2=8y$, כלומר $y=\frac{x^2}{8}$

נכתוב את אגף ימין בצורה קוטבית. לפי משפט דה־מואבר:

נוציא שורש רביעי. הגודל: $\sqrt[4]{\frac{1}{r^4}}=\frac{1}{r}$. הזוויות:

עבור $k=0,1,2,3$:

‏(‏מצולע $I$ הוא ריבוע שמרכזו בראשית.‏)‏

תשובה: $\frac{1}{r}\text{cis}(\theta +90^{\circ }k),k=0,1,2,3$

לפי חילוק בצורה קוטבית:

תשובה: $r\text{cis}\theta$, $r\text{cis}(\theta +180^{\circ })$, $\frac{1}{r}\text{cis}(-\theta )$, $\frac{1}{r}\text{cis}(180^{\circ }-\theta )$

$w$ ו־$-w$ סימטריים ביחס לראשית, וכך גם $\frac{1}{w}$ ו־$-\frac{1}{w}$. לכן האלכסונים של מצולע $II$ חוצים זה את זה בראשית, והוא מקבילית.

מקבילית היא מעוין אם ורק אם האלכסונים מאונכים זה לזה. האלכסון האחד בכיוון הזווית $\theta$, והשני בכיוון הזווית $-\theta$, ולכן הזווית ביניהם $2\theta$:

‏(‏$0^{\circ }<\theta <90^{\circ }$, ולכן $0^{\circ }<2\theta <180^{\circ }$ ויש פתרון אחד.‏)‏

תשובה: $\theta =45^{\circ }$

עם $\theta =45^{\circ }$:

נסמן $t=\frac{r}{\sqrt{2}}$. הנקודה $(t,t)$ על הפרבולה $y=\frac{x^2}{8}$:

שטח מצולע $II$ ‏(‏מעוין‏)‏ – מחצית מכפלת האלכסונים:

שטח מצולע $I$ ‏(‏ריבוע‏)‏ – הקודקודים במרחק $\frac{1}{r}$ מהמרכז, ולכן כל אלכסון באורך $\frac{2}{r}$:

היחס:

תשובה: $S_{II}:S_I=128$

נתון $z_1{z}_2=-19+4i$ ו־$z_1=2+3i$, ולכן:

נכפול במונה ובמכנה בצמוד $2-3i$:

תשובה: $z_2=-2+5i$

לכן המשוואה היא $w^3=8i$. בהצגה קוטבית:

לפי דה־מואבר:

עבור $k=0,1,2$:

תשובה: $2(\cos 30^{\circ }+i\sin 30^{\circ })$
$2(\cos 150^{\circ }+i\sin 150^{\circ })$
$2(\cos 270^{\circ }+i\sin 270^{\circ })$

לפי דה־מואבר:

הנקודות $z$ ו־$z^3$ נמצאות על ישר אחד שעובר דרך הראשית אם ורק אם ההפרש בין הזוויות שלהן הוא כפולה של $180^{\circ }$:

בתחום $0^{\circ }\le \theta <360^{\circ }$:

תשובה: $z=2,2i,-2,-2i$

כל המספרים מסעיפים ב ו־ג הם בעלי מודול 2, ולכן נמצאים על מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו 2. המספר $-2i$ מופיע בשני הסעיפים, ולכן יש 6 קודקודים, בזוויות:

תשובה: משושה קמור שקודקודיו על מעגל ברדיוס 2:
$2,\sqrt{3}+i,2i,-\sqrt{3}+i,-2,-2i$

נחלק את המצולע ל־6 משולשים שקודקודם המשותף בראשית $O$. כל משולש הוא שווה־שוקיים עם שוקיים באורך 2, ושטחו $\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\cdot \sin \beta =2\sin \beta$, כאשר $\beta$ הזווית שבין שני קודקודים סמוכים.

הזוויות בין קודקודים סמוכים:

תשובה: $S=6+2\sqrt{3}\approx 9.46$

כפל ב־$3(\cos \alpha +i\sin \alpha )$ מכפיל את המודול של כל קודקוד פי 3 ומוסיף $\alpha$ לזווית שלו. כלומר המצולע מסתובב סביב הראשית בזווית $\alpha$ ומוגדל פי 3.

סיבוב לא משנה שטח, והגדלה פי 3 של כל האורכים מגדילה את השטח פי $3^2$:

בדיקה: כל משולש שטחו $2\sin \beta$ הופך למשולש ששטחו $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6\sin \beta =18\sin \beta$, כלומר פי 9.

תשובה: פי 9

$|z|$ הוא המרחק של $z$ מהראשית, ו־$|z-(2+2i)|$ הוא המרחק של $z$ מהנקודה $(2,2)$. נציב $z=x+iy$:

נעלה בריבוע:

‏(‏האנך האמצעי של הקטע בין הראשית ל־$(2,2)$.‏)‏

תשובה: $y=-x+2$

נפתור את המשוואה $z^2-(2+2i)z+4i=0$ אלגברית, בפירוק לגורמים (הוצאת גורם משותף בקבוצות):

(אפשר גם בנוסחת השורשים: $\Delta =(2+2i{)}^2-16i=-8i$, ו־$(2-2i{)}^2=-8i$, ולכן $z=\frac{(2+2i)\pm (2-2i)}{2}$.) לכן:

בדיקה על הישר $y=-x+2$:

תשובה: הפתרונות הם $2$ ו־$2i$, והנקודות $(2,0)$ ו־$(0,2)$ נמצאות על הישר $y=-x+2$.

$A$ ו־$B$ על הצירים במרחק $2$ מהראשית. כדי ש־$ABCD$ יהיה ריבוע עם $C,D$ על הצירים:

ארבעת הקודקודים מיוצגים על ידי:

אחרי סיבוב בזווית $\alpha$ מתקבלות הנקודות:

עבור $n=8$ למשוואה $z^8=b$ יש בדיוק 8 פתרונות, וכולם בגודל $\sqrt[8]{|b|}$ ובהפרשי זוויות של $\frac{360^{\circ }}{8}=45^{\circ }$. כל 8 הנקודות הן הפתרונות, ולכן:

• $z=2$ פתרון, ולכן $b=2^8=256$.
• הנקודות צריכות להיות במרווחים של $45^{\circ }$, ולכן $\alpha =45^{\circ }$.

תשובה: $b=256$, $\alpha =45^{\circ }$

עבור $\alpha =15^{\circ }$ שמונה הנקודות הן בגודל $2$ ובזוויות:

הפתרונות של $z^n=b$ נמצאים במרווחים שווים של $\frac{360^{\circ }}{n}$. כדי שיכללו גם את $0^{\circ }$ וגם את $15^{\circ }$, המרווח צריך לחלק את $15^{\circ }$:

הקטן ביותר: $\frac{360^{\circ }}{n}=15^{\circ }$, כלומר $n=24$ ‏(‏וכל כפולה של 24 מתאימה גם היא‏)‏. אז כל 8 הנקודות נמצאות בין 24 הפתרונות.

$z=2$ הוא פתרון, ולכן:

תשובה: למשל $n=24$ ו־$b=2^{24}$ ‏(‏מתאים כל $n$ שהוא כפולה של 24, עם $b=2^n$‏)‏.

בהצגה קוטבית מחלקים את המודולים ומחסרים את הזוויות. המספר 1 הוא בעל מודול 1 וזווית $0^{\circ }$. לכן:

תשובה: $\frac{1}{w}=\frac{1}{r}\left(\cos (-\theta )+i\sin (-\theta )\right)$

האורכים של הצלעות היוצאות מהראשית:

לפי נוסחת השטח בעזרת סינוס:

נשווה לנתון:

הזווית חדה ולכן:

הזווית של $w$ היא $\theta$. הזווית של $\frac{1}{w}$ היא $-\theta$ ששווה ל־$360^{\circ }-\theta$.

הזווית $\theta$ נמצאת בין $90^{\circ }$ ל־$180^{\circ }$ ולכן:

תשובה: $\theta =157.5^{\circ }$

משוואה I היא $z^8=w^8$. הפתרונות הם השורשים מסדר 8 של $w^8$. המודול של כל אחד מהם הוא $r$ והזוויות הן:

כלומר 8 נקודות בזוויות:

משוואה II: מתקיים

ולכן המשוואה היא:

גם כאן המודול של כל פתרון הוא $r$ והזוויות הן:

הזוויות של משוואה II הן כפולות של $45^{\circ }$ והזוויות של משוואה I נמצאות בדיוק באמצע ביניהן. אין פתרון משותף ולכן יש $8+8=16$ קודקודים.

תשובה: 16 קודקודים

כן. לכל 16 הפתרונות המודול הוא $r$, כלומר כולם במרחק $r$ מהראשית – על מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו $r$.

תשובה: כן – כולם במרחק $r$ מהראשית.

16 הקודקודים מחלקים את המעגל באופן שווה: בין כל שני קודקודים סמוכים זווית מרכזית $\frac{360^{\circ }}{16}=22.5^{\circ }$. זהו מצולע משוכלל בן 16 צלעות.

נחלק אותו ל־16 משולשים שווי־שוקיים עם קודקוד בראשית:

תשובה: $r\approx 4.5$

לפי נוסחת השורשים: $\sqrt[6]{64}=2$, והזוויות:

עבור $k=0,\dots ,5$:

תשובה: $z=2\text{cis}(45^{\circ }+60^{\circ }k),k=0,\dots ,5$

שבר שווה לאפס כאשר המונה אפס והמכנה שונה מאפס. המונה מתאפס בששת הפתרונות של א(1). נבדוק מתי המכנה מתאפס:

אלה נפסלים, ונשארים ארבעה פתרונות:

תשובה: $2\text{cis}105^{\circ },2\text{cis}165^{\circ }$
$2\text{cis}285^{\circ },2\text{cis}345^{\circ }$

כל הקודקודים על מעגל שרדיוסו $2$. הזוויות $105^{\circ }$ ו־$285^{\circ }$ מנוגדות ‏(‏הפרש $180^{\circ }$‏)‏, וכך גם $165^{\circ }$ ו־$345^{\circ }$. לכן שני האלכסונים הם קטרים, באורך $4$ כל אחד, והם חוצים זה את זה בראשית.

(מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה ושווים זה לזה הוא מלבן.)

הראשית $O$ – אמצע שני האלכסונים – היא נקודת המפגש שלהם, ולכן נחלק את המרובע לארבעה משולשים עם קודקוד $O$. בכל משולש שתי צלעות באורך $2$ (רדיוס), והזוויות ב־$O$ הן הפרשי הארגומנטים:

(ובאותו אופן $60^{\circ }$ ו־$120^{\circ }$ לשני המשולשים האחרים). לפי נוסחת שטח משולש $\frac{1}{2}ab\sin \gamma$:

תשובה: $S=4\sqrt{3}\approx 6.93$

סיבוב בזווית $\alpha$ נגד כיוון השעון הוא כפל של כל קודקוד ב־$\text{cis}\alpha$. מכפלת ארבעת הקודקודים לפני הסיבוב:

אחרי הסיבוב כל אחד מארבעת הגורמים מוכפל ב־$\text{cis}\alpha$, ולכן המכפלה:

עבור $\alpha =45^{\circ }$:

תשובה: $16$

$P(\alpha )=16\text{cis}(180^{\circ }+4\alpha )$ הוא מדומה טהור כאשר הזווית שלו היא $90^{\circ }$ או $270^{\circ }$ ‏(‏עד כדי כפולות של $360^{\circ }$‏)‏:

אין פתרונות נוספים, כי בתחום הנתון של $\alpha$:

תשובה: $\alpha =22.5^{\circ }$ או $\alpha =67.5^{\circ }$

תשובה: $\alpha =22.5^{\circ }:-16i$
$\alpha =67.5^{\circ }:16i$

במעוין האלכסונים חוצים זה את זה ומאונכים זה לזה. האלכסונים נפגשים בראשית ולכן $C$ סימטרית ל־$A$ ביחס לראשית:

הנקודה $B$ מתקבלת מסיבוב של $\overrightarrow{OA}$ ב־$90^{\circ }$. הסיבוב הוא נגד כיוון השעון כי $B$ ברביע השני. בנוסף $OB=2\cdot OA$ כי $BD=2AC$. כפל ב־$i$ הוא סיבוב ב־$90^{\circ }$ ולכן:

תשובה: $z_B=2iz$
$z_C=-z$
$z_D=-2iz$

נכתוב כל קודקוד בהצגה קוטבית. כפל ב־$i$ מוסיף $90^{\circ }$ וכפל ב־$-1$ מוסיף $180^{\circ }$:

במספר ההופכי לוקחים את ההופכי של המודול ואת הזווית הנגדית:

תשובה: $\frac{1}{z_A}=\frac{1}{r}\text{cis}(-\theta )$
$\frac{1}{z_B}=\frac{1}{2r}\text{cis}(-\theta -90^{\circ })$
$\frac{1}{z_C}=\frac{1}{r}\text{cis}(-\theta -180^{\circ })$
$\frac{1}{z_D}=\frac{1}{2r}\text{cis}(-\theta -270^{\circ })$

שתי הנקודות שהמודול שלהן $\frac{1}{r}$ נמצאות בזוויות שההפרש ביניהן $180^{\circ }$. לכן הן קצוות של קטע שעובר דרך הראשית ואורכו $\frac{2}{r}$.