מצגת הסבר – מספרים מרוכבים

13 שקפים · הצגה קוטבית, כפל וחילוק, משפט דה־מואבר, פתרון משוואות, מצולעים וסיבוב במישור גאוס

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דמספרים מרוכבים · מצגת הסבר

מספרים מרוכבים

מצגת הסבר – הצגה קוטבית, דה־מואבר, פתרון משוואות ומישור גאוס

מתמטיקה 5 יח״לשאלון 35572תכנית חדשה

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355721 / 13

בס״דמספרים מרוכבים · מצגת הסבר

מה נלמד?

בשאלה 3 בשאלון מבקשים בדרך כלל:

לעבור בין הצגה אלגברית $x + y i$ להצגה קוטבית $r (cos θ + i sin θ)$
כפל, חילוק וחזקה – משפט דה־מואבר
לפתור משוואה $z^{n} = w$ (שורשים)
לסמן פתרונות במישור גאוס: מצולע, שטח, סיבוב
מקום גאומטרי: $∣ z ∣ = b$ , חלק ממשי או מדומה נתון

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355722 / 13

בס״דמספרים מרוכבים · מצגת הסבר

הרעיונות החשובים

שתי הצגות

$z = x + y i = r (cos θ + i sin θ)$

$r = ∣ z ∣ = x^{2} + y^{2}$ , ‏ $tan θ = \frac{y}{x}$ – ובודקים באיזה רביע הנקודה.

לזכור (לא בנוסחאון)

קיצור: cis

$cis θ = cos θ + i sin θ$

למשל $cis 9 0^{\circ} = i$ , ‏ $cis 18 0^{\circ} = - 1$ , ‏ $cis 27 0^{\circ} = - i$ .

לזכור (לא בנוסחאון)

חילוק והופכי

$\frac{r _{1} cis θ _{1}}{r _{2} cis θ _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} cis (θ_{1} - θ_{2})$

$\frac{1}{z} = \frac{1}{r} cis (- θ)$

לזכור (לא בנוסחאון)

גאומטריה

$∣ z ∣ = b$ ← מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו $b$ .

כפל ב־ $cis α$ ← סיבוב בזווית $α$ סביב הראשית.

פתרונות $z^{n} = w$ ← קודקודי מצולע משוכלל.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355723 / 13

בס״דמספרים מרוכבים · מצגת הסבר

הנוסחאות מהנוסחאון

נוסחאון · מספרים מרוכבים

מכפלה בהצגה קוטבית של $z_{1} = r_{1} (cos θ_{1} + i sin θ_{1})$ ו־ $z_{2} = r_{2} (cos θ_{2} + i sin θ_{2})$ :

z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot r_{2} [cos (θ_{1} + θ_{2}) + i sin (θ_{1} + θ_{2})]

משפט דה־מואבר:

[R (cos φ + i sin φ)]^{n} = R^{n} (cos n φ + i sin n φ)

פתרונות המשוואה $z^{n} = R (cos φ + i sin φ)$ :

z_{k} = n R [cos (\frac{φ}{n} + \frac{2 k π}{n}) + i sin (\frac{φ}{n} + \frac{2 k π}{n})]

$k = 0, 1, 2, \dots, n - 1$ · במעלות: $\frac{2 k π}{n}$ הוא $\frac{36 0 ^{\circ} k}{n}$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355724 / 13

בס״דמספרים מרוכבים · מצגת הסבר

שיטת הפתרון – משוואה z בחזקת n

מעבירים את המשוואה לצורה $z^{n} = w$ .
כותבים את $w$ בהצגה קוטבית: ‏ $R$ והזווית $φ$ (לפי הרביע).
הרדיוס של כל הפתרונות: $n R$ .
הזוויות: $θ_{k} = \frac{φ + 36 0 ^{\circ} k}{n}$
עבור $k = 0, 1, \dots, n - 1$ . ‏(בין פתרון לפתרון – הפרש קבוע של $\frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ .)
אם יש שבר – פוסלים פתרונות שמאפסים את המכנה.
אם צריך – עוברים להצגה אלגברית.

דוגמה

z^{6} = - 64 i = 64 cis 27 0^{\circ}

664 = 2

θ_{k} = \frac{27 0 ^{\circ} + 36 0 ^{\circ} k}{6} = 4 5^{\circ} + 6 0^{\circ} k

שישה פתרונות $2 cis (4 5^{\circ} + 6 0^{\circ} k)$ – קודקודי משושה משוכלל.

בגרות קיץ תשפ״ד (2024) – מועד ב׳ · שאלה 3

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355725 / 13

בס״דמספרים מרוכבים · מצגת הסבר

שיטת הפתרון – שאלות במישור גאוס

כל מספר $x + y i$ הוא נקודה $(x, y)$ .
שטח מצולע שקודקודיו על מעגל: מחלקים למשולשים מהראשית, ‏ $S = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot sin γ$ – ‏ $γ$ הפרש הזוויות.
סיבוב בזווית $α$ : כופלים כל קודקוד ב־ $cis α$ .
מכפלה של כמה מספרים: כופלים את הרדיוסים ומחברים את הזוויות.
מספר ממשי ← זווית $0^{\circ}$ או $18 0^{\circ}$ ; ‏מדומה טהור ← $9 0^{\circ}$ או $27 0^{\circ}$ .

נוסחאון · שטח משולש

S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot sin α

‏( $α$ – הזווית הכלואה בין $b$ ל־ $c$ )

וזוויות מעל $36 0^{\circ}$ מקטינים: $cis 54 0^{\circ} = cis 18 0^{\circ}$ .

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355726 / 13

בס״דמספרים מרוכבים · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – הצגה קוטבית (א, ב)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 3

$z_{1} = r (cos α + i sin α)$ , ‏ $z_{2} = \frac{1}{r} (cos (α + 9 0^{\circ}) + i sin (α + 9 0^{\circ}))$ , ‏ $w = z_{1} \cdot z_{2} + \frac{z _{1}}{z _{2}}$ , ‏ $0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}$ , ‏ $r > 0$ . ‏ $w$ מיוצג בנקודה $A$ ששיעור ה־ $x$ שלה $- 1$ . ‏א. מצאו את $α$ .

z_{1} \cdot z_{2} = cis (2 α + 9 0^{\circ})

\frac{z _{1}}{z _{2}} = r^{2} cis (- 9 0^{\circ}) = - r^{2} i

w = - sin 2 α + (cos 2 α - r^{2}) i

החלק הממשי של $w$ הוא $- 1$ :

sin 2 α = 1 \Rightarrow 2 α = 9 0^{\circ}

$α = 4 5^{\circ}$

ב. ‏ $A$ על הישר $y = - 1$ ← החלק המדומה הוא $- 1$ :

cos 9 0^{\circ} - r^{2} = - 1 \Rightarrow r^{2} = 1

$r = 1$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355727 / 13

בס״דמספרים מרוכבים · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – משוואה ממעלה 4 (ג)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 3

ג. פתרו את המשוואה $z^{4} = 128 \cdot (z_{1} \cdot w)^{2}$ .

עם $α = 4 5^{\circ}$ , ‏ $r = 1$ : ‏ $z_{1} = cis 4 5^{\circ}$ ו־ $w = - 1 - i$ .

$∣ w ∣ = 2$ , ו־ $w$ ברביע השלישי, לכן:

w = 2 cis 22 5^{\circ}

z_{1} \cdot w = 2 cis 27 0^{\circ}

דה־מואבר:

(z_{1} w)^{2} = 2 cis 54 0^{\circ} = 2 cis 18 0^{\circ}

z^{4} = 256 cis 18 0^{\circ}

4256 = 4, θ_{k} = \frac{18 0 ^{\circ} + 36 0 ^{\circ} k}{4}

θ_{k} = 4 5^{\circ} + 9 0^{\circ} k, k = 0, 1, 2, 3

$4 cis 4 5^{\circ} = 22 + 22 i$
$4 cis 13 5^{\circ} = - 22 + 22 i$
$4 cis 22 5^{\circ} = - 22 - 22 i$
$4 cis 31 5^{\circ} = 22 - 22 i$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355728 / 13

בס״דמספרים מרוכבים · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – מקום גאומטרי ושטח (ד)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 3

ד. ‏ $B$ (רביע ראשון) ו־ $C$ (רביע שני) – פתרונות מסעיף ג. ‏ $∣ z ∣ = b$ חותך את החלק החיובי של ציר ה־ $y$ ב־ $K$ . שטח $C K B O$ הוא $72$ . מצאו את $b$ .

$∣ z ∣ = b$ – מעגל שמרכזו בראשית, ולכן $K (0, b)$ .

מסעיף ג: $B (22, 22)$ ו־ $C (- 22, 22)$ .

$O K$ מחלק את המרובע לשני משולשים עם בסיס $b$ וגובה $22$ :

S = 2 \cdot \frac{b \cdot 2 2}{2} = 22 b

22 b = 72

$b = 3.5$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355729 / 13

בס״דמספרים מרוכבים · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – שורשים ומכנה

בגרות קיץ תשפ״ד (2024) – מועד ב׳ · שאלה 3

א. (1) פתרו $z^{6} + 64 i = 0$ . ‏(2) פתרו $\frac{z ^{6} + 64 i}{z ^{2} - 4 i} = 0$ .

(1) בשקף 5: ‏ $z = 2 cis (4 5^{\circ} + 6 0^{\circ} k)$ , ‏ $k = 0, \dots, 5$

(2) שבר שווה לאפס ← המונה 0 והמכנה שונה מ־0. המכנה מתאפס כאשר:

z^{2} = 4 i = 4 cis 9 0^{\circ}

z = 2 cis 4 5^{\circ}, z = 2 cis 22 5^{\circ}

שני אלה נפסלים. נשארים:

$2 cis 10 5^{\circ}, 2 cis 16 5^{\circ}, 2 cis 28 5^{\circ}, 2 cis 34 5^{\circ}$

ב. שטח המרובע: ארבעה משולשים מהראשית, צלעות 2, זוויות $6 0^{\circ}$ ו־ $12 0^{\circ}$ :

S = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 sin 6 0^{\circ} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 sin 12 0^{\circ}

$S = 43 \approx 6.93$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557210 / 13

בס״דמספרים מרוכבים · מצגת הסבר

אותה שאלה – סיבוב ומכפלה (ג, ד)

בגרות קיץ תשפ״ד (2024) – מועד ב׳ · שאלה 3

מסובבים את המרובע סביב הראשית בזווית $α$ נגד כיוון השעון, ‏ $0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}$ . ‏ג. מה מכפלת הקודקודים עבור $α = 4 5^{\circ}$ ?

לפני הסיבוב: רדיוסים נכפלים, זוויות מתחברות:

2^{4} cis (10 5^{\circ} + 16 5^{\circ} + 28 5^{\circ} + 34 5^{\circ}) = 16 cis 90 0^{\circ} = - 16

כל קודקוד מוכפל ב־ $cis α$ :

P (α) = 16 cis (18 0^{\circ} + 4 α)

$α = 4 5^{\circ} \Rightarrow P = 16 cis 36 0^{\circ} = 16$

ד. מדומה טהור ← הזווית $27 0^{\circ}$ או $45 0^{\circ}$ (בתחום $18 0^{\circ}$ עד $54 0^{\circ}$ ):

18 0^{\circ} + 4 α = 27 0^{\circ} \Rightarrow α = 22. 5^{\circ}

18 0^{\circ} + 4 α = 45 0^{\circ} \Rightarrow α = 67. 5^{\circ}

$α = 22. 5^{\circ} \Rightarrow P = - 16 i$
$α = 67. 5^{\circ} \Rightarrow P = 16 i$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557211 / 13

בס״דמספרים מרוכבים · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

את הזווית קובעים לפי הרביע, לא רק לפי $tan θ$ .
במשוואה $z^{n} = w$ יש בדיוק $n$ פתרונות – $k$ מ־0 עד $n - 1$ .
מחלקים ב־ $n$ את כל הזווית $φ + 36 0^{\circ} k$ .

בכפל – כופלים רדיוסים ומחברים זוויות; בחילוק – מחלקים ומחסרים.
בשבר שווה לאפס – פוסלים את מה שמאפס את המכנה.
$n R$ – שורש של הרדיוס, לא $R$ עצמו.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557212 / 13

בס״דמספרים מרוכבים · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

כתבו בהצגה קוטבית: $z = - 1 + i$ .
חשבו: $(2 cis 1 5^{\circ})^{6}$ .
פתרו: $z^{3} = 8 i$ .
מה המקום הגאומטרי של $∣ z ∣ = 5$ ?

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$r = 2$ , רביע שני ← $2 cis 13 5^{\circ}$
$8 cis 9 0^{\circ} = 8i$
$8 i = 8 cis 9 0^{\circ}$ ← $2 cis 3 0^{\circ}, 2 cis 15 0^{\circ}, 2 cis 27 0^{\circ}$
מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו 5

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557213 / 13

› לכל המצגות