גאומטרייה אנליטית

נמצא את נקודות החיתוך של הישר $y=x$ עם הפרבולה $y^2=2px$. נציב $y=x$:

$x=0$ היא ראשית הצירים, ולכן ב־$A$ מתקיים $x=2p$, ואז $y=2p$. ‏(‏$p>0$, ולכן $A$ ברביע הראשון.‏)‏

תשובה: $A(2p,2p)$

המשיק $\ell$: לפי הנוסחאון, משוואת המשיק לפרבולה $y^2=2px$ בנקודה $(x_1,y_1)$ שעליה היא $y{y}_1=p(x+x_1)$. נציב $A(2p,2p)$:

או בצורה כללית: $x-2y+2p=0$.

המוקד: $F\left(\frac{p}{2},0\right)$.

הרדיוס: המעגל משיק ל־$\ell$, ולכן הרדיוס שווה למרחק של $F$ מהישר $\ell$:

משוואת המעגל:

תשובה: ${\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+y^2=\frac{5}{4}{p}^2$

הרדיוס $FB$ מאונך למשיק $\ell$ בנקודת ההשקה $B$. שיפוע $\ell$ הוא $\frac{1}{2}$, ולכן שיפוע $FB$ הוא $-2$. הישר דרך $F\left(\frac{p}{2},0\right)$ בשיפוע $-2$:

נמצא את $B$ – חיתוך עם $\ell$:

ולכן $B(0,p)$, כלומר $B$ נמצאת על ציר ה־$y$.

תשובה: $B(0,p)$ – על ציר ה־$y$.

$A(2p,2p)$, $B(0,p)$. לפי נוסחת המרחק בין שתי נקודות:

‏(‏$p>0$‏)‏. נשווה לנתון:

תשובה: $p=4$

עבור $p=4$: מרכז המעגל $I$ הוא $F(2,0)$ והרדיוס שלו:

הרדיוס של המעגלים המשיקים הוא $r=2\sqrt{5}-3$, והוא קטן מ־$R$. כששני מעגלים משיקים מבפנים, המרחק בין המרכזים שווה להפרש הרדיוסים:

לכן כל מרכז נמצא במרחק $3$ מ־$F(2,0)$, והמקום הגאומטרי הוא מעגל שמרכזו $F$ ורדיוסו $3$:

תשובה: $(x-2{)}^2+y^2=9$

הפרבולה $y^2=54x$ היא מהצורה $y^2=2px$, ולכן $2p=54$, כלומר $p=27$.

לפי הנוסחאון, משוואת המשיק לפרבולה בנקודה $A(x_1,y_1)$ שעליה:

שיפוע המשיק הוא $\frac{27}{y_1}$, והוא נתון $\frac{3}{4}$:

הנקודה על הפרבולה:

תשובה: $A(24,36)$

הרדיוס $MA$ מאונך למשיק בנקודת ההשקה $A$. שיפוע המשיק $\frac{3}{4}$, ולכן שיפוע הישר $AM$:

משוואת הישר דרך $A(24,36)$:

תשובה: $y=-\frac{4}{3}x+68$

המרכז $M$ על הישר $AM$, ולכן $M\left(m,-\frac{4}{3}m+68\right)$.

המעגל משיק לציר ה־$y$, ולכן הרדיוס הוא המרחק של $M$ מציר ה־$y$: $R=|m|$. נתון ששיעור ה־$x$ של $M$ קטן משיעור ה־$x$ של $A$, כלומר $m<24$.

הרדיוס הוא גם $MA$:

אם $m>0$:

אם $m<0$:

וזה סותר את התנאי $m<0$.

לכן $m=15$, $R=15$, והמרכז:

תשובה: $(x-15{)}^2+(y-48{)}^2=225$

נסמן $P(x,y)$, והמשיק למעגל בנקודה $B$ עובר דרך $P$. הרדיוס $MB$ מאונך למשיק, ולכן המשולש $MBP$ ישר זווית ב־$B$. לפי פיתגורס:

כלומר כל נקודה $P$ נמצאת במרחק $\sqrt{1521}=39$ מ־$M$. המקום הגאומטרי הוא מעגל שמרכזו $M$ ורדיוסו 39:

תשובה: $(x-15{)}^2+(y-48{)}^2=1521$

שתי הנקודות נמצאות על המקום הגאומטרי מסעיף ג (1) – מעגל שרדיוסו 39.

המרחק הגדול ביותר בין שתי נקודות על מעגל הוא הקוטר:

לכן לא ייתכן שהמרחק בין שתי נקודות כאלה הוא 80.

תשובה: לא. הקוטר של המקום הגאומטרי הוא 78, וזה פחות מ־80.

משוואת אליפסה קנונית: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. המוקד הימני הוא $(c,0)$, ולכן $c^2=6.4$, ובאליפסה שמוקדיה על ציר ה־$x$:

הנקודה $A(1,3)$ על האליפסה:

נציב $a^2=b^2+6.4$:

נכפול ב־$b^2(b^2+6.4)$:

זו משוואה ריבועית ב־$b^2$. נסמן $t=b^2$:

$b^2>0$, ולכן $b^2=9.6$ ו־$a^2=16$.

תשובה: $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9.6}=1$

$B$ היא החיתוך עם החלק החיובי של ציר ה־$x$: $B(4,0)$.

הישר $AO$ עובר דרך $O(0,0)$ ו־$A(1,3)$, ולכן $y=3x$. נקודה כלשהי עליו: $C(t,3t)$.

$P$ אמצע הקטע $BC$:

נבודד את $t$ מהמשוואה הראשונה ונציב בשנייה:

המקום הגאומטרי הוא ישר המקביל ל־$AO$.

תשובה: $y=3x-6$

המעגל משיק לישר $AO$ ‏(‏$y=3x$‏)‏ בנקודה $O$, ולכן מרכזו נמצא על הישר המאונך ל־$AO$ בנקודה $O$:

המעגל משיק גם לישר $y=3x-6$, המקביל ל־$AO$. מעגל המשיק לשני ישרים מקבילים – הקוטר שלו הוא המרחק בין הישרים. נכתוב אותם בצורה $3x-y=0$ ו־$3x-y-6=0$:

המרכז $M(m,-\frac{m}{3})$ במרחק $R$ מ־$O$, וצריך להיות בצד של הישר $y=3x-6$ ‏(‏מימין ל־$AO$, כלומר $m>0$‏)‏:

בדיקה – המרחק של $M$ מהישר $3x-y-6=0$:

תשובה: $(x-0.9{)}^2+(y+0.3{)}^2=0.9$

נשווה למשוואה הקנונית של אליפסה:

כאן $a^2=25k^2$ ו־$b^2=16k^2$. מכיוון ש־$k>0$:

המרחק של המוקד מהמרכז:

החיתוך עם החלק החיובי של ציר ה־$x$ הוא $(5k,0)$, ולכן רדיוס המעגל:

תשובה: $(x-3k{)}^2+y^2=4k^2$

הנקודה $B$ היא $(0,4k)$. נחשב את אורך הקטע $BF$:

$D$ נמצאת על המעגל, ולכן $DF=R=2k$. מכיוון ש־$D$ על הקטע $BF$:

תשובה: $\frac{BD}{DF}=\frac{3}{2}$

$D$ נמצאת על הקטע $FB$ במרחק $2k$ מ־$F$, כלומר $\frac{2k}{5k}=\frac{2}{5}$ מהדרך מ־$F$ אל $B$:

תשובה: $D(1.8k,1.6k)$

לפי הנוסחאון, משוואת המשיק למעגל $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ בנקודה $(x_1,y_1)$ שעליו:

כאן $a=3k$, $b=0$ והנקודה $D(1.8k,1.6k)$:

נחלק ב־$k$ ‏(‏$k>0$‏)‏:

תשובה: $y=\frac{3}{4}x+\frac{k}{4}$

הצלע המקבילה למשיק נמצאת על ישר מקביל, $y=\frac{3}{4}x+c$, במרחק 15 ממנו ‏(‏אורך הצלע‏)‏.

נכתוב את שני הישרים בצורה $Ax+By+C=0$:

המרחק בין ישרים מקבילים:

הנקודה $B(0,4k)$ נמצאת בתוך הריבוע, כלומר בין שני הישרים. $B$ נמצאת מעל המשיק ‏(‏$4k>\frac{k}{4}$‏)‏, ולכן גם הצלע המקבילה נמצאת מעל המשיק:

תשובה: $y=\frac{3}{4}x+\frac{k+75}{4}$

נקודת המפגש של אלכסוני הריבוע נמצאת במרחק שווה משתי צלעות נגדיות, כלומר במרחק $\frac{15}{2}=7.5$ מהצלע שעל המשיק.

המרחק של $B(0,4k)$ מהישר $3x-4y+k=0$:

תשובה: $k=2.5$

נשלים לריבוע:

המרכז $(3,0)$, ו־$9-t>0$ ‏(‏נתון $t<9$‏)‏, ולכן:

תשובה: $R=\sqrt{9-t}$

הישר $y=x$ ‏(‏$x-y=0$‏)‏ משיק למעגל, ולכן המרחק של המרכז $(3,0)$ ממנו שווה לרדיוס:

תשובה: $t=4.5$

עם $t=4.5$ הרדיוס הוא $\sqrt{4.5}$, ולכן מעגל $II$ ‏(‏מרכזו בראשית‏)‏:

נסמן $A(x_0,y_0)$. הנקודה על המעגל, ולכן:

המיתר $AB$ מאונך לציר ה־$y$, כלומר אופקי, ולכן:

$P(x,y)$ על המיתר, ולכן $y=y_0$. מהתנאי $AB=2PO$:

נציב $y_0=y$:

זו משוואת אליפסה.

הערה: הנקודה $P$ קיימת רק אם $PO\ge |y_0|$, כלומר $x_0^2\ge y_0^2$:

וזה בדיוק התנאי הנתון על $y_A$.

תשובה: אליפסה: $\frac{x^2}{4.5}+\frac{y^2}{2.25}=1$

באליפסה: $a^2=4.5$, $b^2=2.25$, ולכן:

המוקדים:

לפי הגדרת האליפסה, לכל נקודה $C$ עליה סכום המרחקים מהמוקדים הוא $2a$:

היקף המשולש:

תשובה: $3\sqrt{2}+3\approx 7.24$

הבסיס $KF=3$ נמצא על ציר ה־$x$, ולכן הגובה לבסיס הוא $|y_C|$:

באליפסה $|y_C|\le b=1.5$, ולכן:

לכן אין נקודה $C$ כזו.

תשובה: לא. השטח המקסימלי הוא $2.25<3$.

הזווית $APB$ היא זווית ישרה. זווית היקפית של $90^{\circ }$ נשענת על קוטר, ולכן כל נקודה $P$ נמצאת על המעגל שהקטע $AB$ הוא קוטר שלו ‏(‏פרט לנקודות $A$ ו־$B$ עצמן‏)‏.

המרכז הוא אמצע $AB$:

כלומר $M(16a,0)$.

הרדיוס הוא חצי מאורך $AB$:

תשובה: $(x-16a{)}^2+y^2=625a^2$
(ללא הנקודות $A$ ו־$B$)

הבסיס $AB=50a$ קבוע, ולכן השטח הגדול ביותר מתקבל כשהגובה מ־$P$ לבסיס הוא הגדול ביותר – כש־$P$ נמצאת בקצה העליון ‏(‏או התחתון‏)‏ של המעגל, והגובה שווה לרדיוס $25a$:

$a$ חיובי, ולכן:

תשובה: $a=0.5$

נציב $a=\frac{1}{2}$. הנקודות הן $A(-4.5,0)$ ו־$B(20.5,0)$ והמעגל הוא:

אמצע $AB$ הוא $(8,0)$, והוא המוקד של הפרבולה הקנונית $y^2=2px$, שהמוקד שלה $\left(\frac{p}{2},0\right)$:

נציב $y^2=32x$ במשוואת המעגל:

ברביע הראשון $x>0$, ולכן $x=4.5$:

תשובה: $C(4.5,12)$

המשיק $\ell$: לפי הנוסחאון המשיק לפרבולה $y^2=2px$ בנקודה $(x_1,y_1)$ הוא:

משיק מקביל למעגל: נכתוב אותו בצורה

המרחק שלו מהמרכז $(8,0)$ שווה לרדיוס שהוא 12.5:

המרחק בין ישרים מקבילים: המרחק בין הישר $\ell$ לבין הישר עם $c$ הוא

תשובה: $2.5$ או $22.5$

האלכסונים מונחים על הצירים וחוצים זה את זה בראשית. אורך האלכסון $AC$ הוא 10, ולכן:

נסמן את הקודקוד על ציר ה־$y$ החיובי:

משוואת הישר $AB$ לפי נקודות החיתוך עם הצירים:

המרחק מהראשית לישר הוא $\sqrt{5}$:

ולכן:

תשובה: $y=-\frac{1}{2}x+2.5$

במעוין מרכז המעגל החסום הוא מפגש האלכסונים – הראשית. הרדיוס הוא המרחק מהמרכז לצלע, כלומר $\sqrt{5}$:

תשובה: $x^2+y^2=5$

הנקודה $M$ היא נקודת ההשקה, ולכן הרדיוס $OM$ מאונך לצלע $AB$. השיפוע של $AB$ הוא $-\frac{1}{2}$, ולכן:

נחתוך עם הישר $AB$:

תשובה: $M(1,2)$

האנך מ־$M(1,2)$ לציר ה־$x$ חותך אותו בנקודה:

הנקודה $E$ נמצאת על הישר $x=-1$, ולכן נסמן:

הישר דרך $E$ המקביל לציר ה־$x$ הוא $y=t$, ולכן לנקודה $G(x,y)$ שעליו יש $y=t$.

הנקודה $G$ על האנך האמצעי של $EK$, ולכן $GE=GK$:

נשווה ונעלה בריבוע:

זו פרבולה שהמוקד שלה הוא $K(1,0)$ והמדריך שלה הוא הישר $x=-1$.

תשובה: פרבולה: $y^2=4x$

$N$ על הפרבולה עם $x=5$ ברביע הראשון:

המרחק בין $N$ למרכז המעגל החסום $O$:

הרדיוס של המעגל החסום הוא $\sqrt{5}$, והנקודה $N$ מחוץ לו. יש שני מעגלים שמרכזם $N$ ומשיקים לו.

השקה מבחוץ – המרחק בין המרכזים שווה לסכום הרדיוסים:

השקה מבפנים – המעגל החסום בתוך המעגל החדש, והמרחק שווה להפרש הרדיוסים:

משוואות המעגלים:

תשובה: שני מעגלים:
$(x-5{)}^2+(y-2\sqrt{5}{)}^2=20$
$(x-5{)}^2+(y-2\sqrt{5}{)}^2=80$

המעגל הראשון: המרכז $K(3,4)$ והרדיוס 3. המעגל השני: המרכז $L(-5,2)$ והרדיוס 1.

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. לכן לפי משפט פיתגורס במשולשים $MAK$ ו־$MBL$:

נסמן $M(x,y)$ ונשווה:

נפתח סוגריים. האיברים $x^2$ ו־$y^2$ מצטמצמים:

זו משוואה של ישר ולכן המקום הגאומטרי הוא ישר.

תשובה: $y=-4x-3$

השיפוע של הישר שמצאנו הוא $-4$. השיפוע של $KL$ הוא:

מכפלת השיפועים היא $-1$ ולכן הישרים מאונכים.

תשובה: הוכח: מכפלת השיפועים היא $-1$

הנקודות שמקיימות $ML=MK$ נמצאות על האנך האמצעי לקטע $KL$. גם האנך האמצעי מאונך ל־$KL$ ולכן הוא מקביל לישר מסעיף א.

נבדוק אם אמצע $KL$ נמצא על הישר מסעיף א. אמצע הקטע הוא $(-1,3)$:

אמצע הקטע לא נמצא על הישר. לכן שני הישרים מקבילים ושונים ואין להם נקודה משותפת.

תשובה: לא – הישר מסעיף א מקביל לאנך האמצעי של $KL$ ושונה ממנו.

משוואת הישר $KL$:

אורך הקטע:

השטח הוא חצי מכפלת הבסיס $KL$ בגובה. לכן המרחק של $M$ מהישר $KL$ הוא:

הנקודה $M$ על הישר מסעיף א ולכן $M(x,-4x-3)$. לפי נוסחת המרחק:

עבור $x=-2$ מתקבל $y=5$. על הישר $KL$ באותו $x$ הערך הוא $y=2.75$ ולכן הנקודה מעל הישר.

עבור $x=-\frac{16}{17}$ מתקבל $y=\frac{13}{17}$ וזו נקודה מתחת לישר $KL$.

תשובה: $M(-2,5)$

נציב את $M$ במשוואת הפרבולה:

לפי הנוסחאון המשיק בנקודה $(x_1,y_1)$ הוא $y\cdot y_1=p(x+x_1)$:

תשובה: $y=-1.25x+2.5$

שיעור ה־$x$ של הקודקוד $B$ הוא:

הצלע $BC$ מקבילה לציר ה־$x$, ולכן לשני הקודקודים אותו שיעור $y$. נסמן:

הזווית $BAC$ ישרה, ולכן מכפלה סקלרית של שני הווקטורים היוצאים מ־$A(a,0)$ שווה לאפס:

הנקודה $M$ היא אמצע $BC$:

נציב $t=y$ ונקבל את המקום הגאומטרי:

תשובה: $y^2=4ax$

זו פרבולה שקודקודה בראשית וציר הסימטרייה שלה הוא ציר ה־$x$.

כאשר $a>0$ היא פתוחה ימינה, וכאשר $a<0$ היא פתוחה שמאלה.

תשובה: פרבולה שקודקודה בראשית.
כאשר $a>0$ היא פתוחה ימינה, וכאשר $a<0$ היא פתוחה שמאלה.

נסמן את נקודת ההשקה:

נגזור את משוואת הפרבולה בגזירה סתומה:

שיפוע המשיק בנקודה $M$:

שיפוע הישר $AC$, לפי השיעורים מסעיף א:

השיפועים שווים, ולכן המשיק מקביל לישר $AC$.

תשובה: לשני הישרים אותו שיפוע, ולכן הם מקבילים:
$m_{\ell }=m_{AC}=\frac{2a}{t}$

הקודקוד $B$ נמצא על הישר הנתון, ולכן:

המקום הגאומטרי והקודקוד $A$:

נסמן את הנקודה $M$ על הפרבולה:

נשתמש בנתון:

נסמן:

ונקבל:

$u=\frac{t^2}{8}\ge 0$, ולכן $u=-12$ נפסל ו־$u=8$.

הנקודה $M$ ברביע הראשון, ולכן:

לפי סעיף א:

תשובה: $B(-2,8)$
$C(18,8)$

השיפוע של הישר $AC$ הוא $\frac{1}{2}$, והוא עובר דרך $A$. משוואתו:

למשיק בנקודה $M$ אותו שיפוע. משוואתו:

המעגל משיק לשני ישרים מקבילים, ולכן הקוטר שלו שווה למרחק ביניהם:

המעגל עובר דרך $A$, שנמצאת על הישר $AC$, ולכן הוא משיק לישר זה בנקודה $A$.

לכן מרכז המעגל נמצא על האנך ל־$AC$ בנקודה $A$. זה הישר $AB$, כי הזווית $BAC$ ישרה.

המרכז נמצא במרחק $\sqrt{5}$ מהנקודה $A$, לכיוון הישר המשיק:

בדיקה: המרחק מ־$(1,2)$ לישר המשיק:

תשובה: $(1,2)$