מצגת הסבר – גאומטרייה אנליטית

14 שקפים · ישר, מעגל, פרבולה ואליפסה: משיקים, מרחקים, מעגלים משיקים ומקום גאומטרי

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

גאומטרייה אנליטית

מצגת הסבר – ישר, מעגל, פרבולה, אליפסה ומקום גאומטרי

מתמטיקה 5 יח״לשאלון 35572תכנית חדשה

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355721 / 14

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

מה נלמד?

בשאלה 1 בשאלון נותנים עקומים במערכת צירים ומבקשים:

משוואה של ישר, מעגל, פרבולה או אליפסה
משיק – למעגל או לפרבולה
מרחקים: בין נקודות, מנקודה לישר, בין ישרים מקבילים
מקום גאומטרי – למצוא את המשוואה ולזהות את הצורה
שאלות עם פרמטר ( $p, k, t$ ) – מוצאים אותו מנתון

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355722 / 14

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

הרעיונות החשובים

מעגל משיק לישר

הרדיוס = המרחק של המרכז מהישר.

והרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק: $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ .

שני מעגלים משיקים

מבחוץ: $d = R + r$ · מבפנים: $d = R - r$

‏( $d$ – המרחק בין המרכזים)

לזכור (לא בנוסחאון)

מעגל בין שני ישרים מקבילים

משיק לשניהם ← הקוטר = המרחק בין הישרים.

לזכור (לא בנוסחאון)

משוואת מעגל

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

מרכז $(a, b)$ , רדיוס $R$ . ‏משוואה עם $x^{2} + y^{2}$ ← משלימים לריבוע.

לזכור (לא בנוסחאון)

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355723 / 14

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

הנוסחאות מהנוסחאון – ישר

נוסחאון · קו ישר

שיפוע ישר דרך $(x_{1}, y_{1})$ ו־ $(x_{2}, y_{2})$ , ‏ $(x_{1} \neq = x_{2})$ :

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

משוואת ישר ששיפועו $m$ דרך $(x_{1}, y_{1})$ :

y - y_{1} = m (x - x_{1})

ישרים מאונכים אם ורק אם:

m_{1} \cdot m_{2} = - 1

הנקודה המחלקת את $A B$ ביחס $\frac{A C}{B C} = \frac{k}{ℓ}$ :

(\frac{ℓ x _{1} + k x _{2}}{k + ℓ}, \frac{ℓ y _{1} + k y _{2}}{k + ℓ})

נוסחאון · מרחקים

בין הנקודות $A (x_{1}, y_{1})$ ו־ $B (x_{2}, y_{2})$ :

d = (x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}

בין הנקודה $(x_{0}, y_{0})$ לישר $A x + B y + C = 0$ :

d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}

בין הישרים המקבילים $A x + B y + C_{1} = 0$ ו־ $A x + B y + C_{2} = 0$ :

d = \frac{∣ C _{1} - C _{2} ∣}{A ^{2} + B ^{2}}

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355724 / 14

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

הנוסחאות מהנוסחאון – מעגל, פרבולה, אליפסה

נוסחאון · משיקים

משיק למעגל $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ בנקודה $(x_{0}, y_{0})$ שעליו:

(x_{0} - a) (x - a) + (y_{0} - b) (y - b) = R^{2}

משיק לפרבולה $y^{2} = 2 p x$ בנקודה $(x_{0}, y_{0})$ שעליה:

y \cdot y_{0} = p (x + x_{0})

בפרבולה $y^{2} = 2 p x$ : ‏מוקד $F (\frac{p}{2}, 0)$ , ‏מדריך $x = - \frac{p}{2}$

נוסחאון · אליפסה והיפרבולה

	משוואה	מוקד
אליפסה	$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$	$c^{2} = a^{2} - b^{2}$
היפרבולה	$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$	$c^{2} = a^{2} + b^{2}$

אסימפטוטות ההיפרבולה: $y = \pm \frac{b}{a} x$ . ‏המוקדים: $(\pm c, 0)$ .

לזכור (לא בנוסחאון): לכל נקודה על האליפסה סכום המרחקים מהמוקדים הוא $2 a$ .

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355725 / 14

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

שיטת הפתרון – מקום גאומטרי

מסמנים את הנקודה המבוקשת $(x, y)$ – או בפרמטר, למשל $C (t, 3 t)$ .
כותבים את התנאי שבשאלה כמשוואה (מרחק, אמצע, משיק...).
מציבים בנוסחה מהנוסחאון.
מפשטים. עם פרמטר – מבודדים אותו ומציבים במשוואה השנייה.
מזהים את הצורה: ישר / מעגל (משלימים לריבוע) / אליפסה – וכותבים נקודות שיוצאות מהמקום.

דוגמה: אמצע קטע

$B (4, 0)$ , ‏ $C (t, 3 t)$ על $y = 3 x$ . ‏ $P$ אמצע $B C$ :

x = \frac{4 + t}{2}, y = \frac{3 t}{2}

t = 2 x - 4 \Rightarrow y = \frac{3 ( 2 x - 4 )}{2}

y = 3 x - 6

המקום: ישר המקביל ל־ $y = 3 x$ .

בגרות חורף תשפ״ו (2026) · שאלה 1

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355726 / 14

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

שיטת הפתרון – מעגל משיק

המרכז: נתון, או נמצא על ישר מסוים (למשל האנך למשיק בנקודת ההשקה).
הרדיוס: המרחק מהמרכז אל הישר המשיק (נוסחת מרחק נקודה–ישר).
הישר בצורה $A x + B y + C = 0$ לפני שמציבים בנוסחה.
בנוסחה יש ערך מוחלט ← לרוב שתי אפשרויות. בודקים איזו מתאימה לשאלה.
כותבים $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ – עם $R^{2}$ , לא $R$ .

דוגמה

מרכז $F (2, 0)$ , משיק לישר $x - 2 y + 8 = 0$ :

R = \frac{∣2 - 0 + 8∣}{1 ^{2} + ( - 2 ) ^{2}} = \frac{10}{5}

R^{2} = 20

(x - 2)^{2} + y^{2} = 20

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 1 ‏(עם $p = 4$ )

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355727 / 14

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – משיק לפרבולה (א, ב)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 1

הישר $y = x$ חותך את הפרבולה $y^{2} = 2 p x$ ‏( $p > 0$ ) בראשית ובנקודה $A$ שברביע הראשון. ‏א. הביעו באמצעות $p$ את $A$ . ‏ב. ‏ $ℓ$ משיק לפרבולה ב־ $A$ . מעגל שמרכזו במוקד $F$ משיק ל־ $ℓ$ ב־ $B$ . מצאו את משוואתו.

x^{2} = 2 p x \Rightarrow x (x - 2 p) = 0

$x = 0$ זו הראשית, ולכן $A (2 p, 2 p)$ .

ב. משיק לפי הנוסחאון $y \cdot y_{0} = p (x + x_{0})$ :

2 p \cdot y = p (x + 2 p) \Rightarrow y = \frac{1}{2} x + p

כלומר $x - 2 y + 2 p = 0$ . ‏המוקד $F (\frac{p}{2}, 0)$ . הרדיוס = מרחק $F$ מ־ $ℓ$ :

R = \frac{\frac{p}{2} + 2 p}{1 + 4} = \frac{5}{2} p

$(x - \frac{p}{2})^{2} + y^{2} = \frac{5}{4} p^{2}$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355728 / 14

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – נקודת ההשקה (ג, ד)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 1

הראו כי נקודת ההשקה $B$ נמצאת על ציר ה־ $y$ .

הרדיוס $F B$ מאונך למשיק: שיפוע $ℓ$ הוא $\frac{1}{2}$ , ולכן שיפוע $F B$ הוא $- 2$ .

F B : y = - 2 (x - \frac{p}{2}) = - 2 x + p

- 2 x + p = \frac{1}{2} x + p \Rightarrow x = 0

$B (0, p)$ – על ציר ה־ $y$

נתון: $A B = 45$ . מצאו את $p$ .

A B = (2 p)^{2} + (2 p - p)^{2} = 5 p

5 p = 45 \Rightarrow p = 4

$p = 4$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355729 / 14

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – מקום גאומטרי (ה)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 1

ה. ‏( $p = 4$ ) מצאו את המקום הגאומטרי של מרכזי כל המעגלים שרדיוסם $25 - 3$ והמשיקים מבפנים למעגל מסעיף ב.

המעגל מסעיף ב: מרכז $F (2, 0)$ , ‏ $R = \frac{5}{2} \cdot 4 = 25 \approx 4.47$ .

הרדיוס $r = 25 - 3$ קטן מ־ $R$ . ‏משיקים מבפנים ← המרחק בין המרכזים הוא הפרש הרדיוסים:

d = R - r = 25 - (25 - 3) = 3

כל המרכזים נמצאים במרחק 3 מ־ $F (2, 0)$ ← מעגל:

$(x - 2)^{2} + y^{2} = 9$

מקום גאומטרי של נקודות במרחק קבוע מנקודה = מעגל.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557210 / 14

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – אליפסה ומקום גאומטרי

בגרות חורף תשפ״ו (2026) · שאלה 1

א. המוקד הימני של אליפסה קנונית הוא $(6.4, 0)$ , והנקודה $A (1, 3)$ עליה. מצאו את משוואתה.

$c^{2} = a^{2} - b^{2} = 6.4$ ← $a^{2} = b^{2} + 6.4$ . ‏מציבים את $A$ :

\frac{1}{b ^{2} + 6.4} + \frac{9}{b ^{2}} = 1

כופלים במכנים ומסמנים $t = b^{2}$ :

t^{2} - 3.6 t - 57.6 = 0

t = \frac{3.6 \pm 15.6}{2}

t_{1} = 9.6, t_{2} = - 6

$b^{2} > 0$ ← $b^{2} = 9.6$ , ‏ $a^{2} = 16$ .

$\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{9.6} = 1$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557211 / 14

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

אותה שאלה – מעגל המשיק לשני ישרים (ב, ג)

בגרות חורף תשפ״ו (2026) · שאלה 1

ב. ‏ $P$ אמצע $B C$ כאשר $B (4, 0)$ ו־ $C$ על הישר $A O$ . ‏(הדרך – בשקף 6.)

$y = 3 x - 6$

ג. מצאו מעגל המשיק לישר $A O$ בנקודה $O$ ומשיק גם למקום הגאומטרי.

הישרים $3 x - y = 0$ ו־ $3 x - y - 6 = 0$ מקבילים. המעגל משיק לשניהם ← הקוטר הוא המרחק ביניהם:

d = \frac{∣0 - ( - 6 ) ∣}{3 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{6}{10} \Rightarrow R^{2} = 0.9

המרכז על האנך ל־ $A O$ בנקודה $O$ : ‏ $y = - \frac{1}{3} x$ , כלומר $M (m, - \frac{m}{3})$ , ‏ $m > 0$ (בצד של הישר השני).

m^{2} + \frac{m ^{2}}{9} = 0.9 \Rightarrow m = 0.9

בדיקה: מרחק $M (0.9, - 0.3)$ מ־ $3 x - y - 6 = 0$ הוא $\frac{3}{10} = R$ ✓

$(x - 0.9)^{2} + (y + 0.3)^{2} = 0.9$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557212 / 14

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בנוסחת המרחק מנקודה לישר – קודם מעבירים לצורה $A x + B y + C = 0$ .
לא שוכחים את הערך המוחלט ואת שתי האפשרויות.
במשוואת המעגל באגף ימין $R^{2}$ , לא $R$ .

אליפסה: $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . היפרבולה: $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ .
בפרבולה $y^{2} = 2 p x$ המוקד $(\frac{p}{2}, 0)$ – לא $(p, 0)$ .
מקום גאומטרי: מזהים את הצורה במילים, ומוציאים נקודות שלא מתאימות.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557213 / 14

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

מצאו את מרכז המעגל $x^{2} - 6 x + y^{2} + 4 y = 12$ ואת רדיוסו.
מצאו את המרחק של הנקודה $(1, 2)$ מהישר $3 x + 4 y + 4 = 0$ .
מצאו את המשיק לפרבולה $y^{2} = 8 x$ בנקודה $(2, 4)$ .
אליפסה $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ – מצאו את המוקדים.

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ ← מרכז $(3, - 2)$ , רדיוס $5$
$d = \frac{∣3 + 8 + 4∣}{9 + 16} = \frac{15}{5} = 3$
$p = 4$ : ‏ $4 y = 4 (x + 2)$ ← $y = x + 2$
$c^{2} = 25 - 9 = 16$ ← $(\pm 4, 0)$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557214 / 14

› לכל המצגות